挑战-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知实数 $a, b, c$ 满足 $a^2+b^2+c^2=1$, 则 $a b+b c+2 c a$ 的最大值为

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答案：

解：利用均值不等式： $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ 当且仅当 $\mathrm{a}=\mathrm{b}$ 时等号成立进行解答。
$$
\begin{aligned}
& \text { 设 } 0 < m < 1,1=a^2+b^2+c^2=\left(m a^2+\frac{1}{2} b^2\right)+\left(\frac{1}{2} b^2+m c^2\right) \\
& +(1-m)\left(a^2+c^2\right) \\
& \geq 2 \sqrt{\frac{m}{2}} a b+2 \sqrt{\frac{m}{2}} b c+2(1-m) a c \\
& \text { 令 } 2 \sqrt{\frac{m}{2}}=1-m \text {, 解得 } m=2-\sqrt{3}
\end{aligned}
$$
因此 $(\sqrt{3}-1)(a b+b a c+2 c a) \leq 1$, 即 $a b+b c+2 c a \leq \frac{\sqrt{3}+1}{2}$
当且仅当 $b=(\sqrt{3}-1) a, c=a$ 时取得等号

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