曲线$y=3\left(x^{2}+x\right) \mathrm{e}^{x}$ 在点$(0,0)$处的切线方程为
已知双曲线$C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若 $\overrightarrow{F_{1} A}=\overrightarrow{A B}, \quad \overrightarrow{F_{1} B} \cdot \overrightarrow{F_{2} B}=0 $，则C的离心率为
已知抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为 2 , 过焦点 $F$ 的直线与抛物线交于 $A, B$
两点, 且 $|A F|=3|F B|$, 则线段 $A B$ 的中点到 $y$ 轴的距离为
已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0$ ) 的右顶点为 $A$, 以 $A$ 为 圆心, $b$ 为半径作圆 $A$, 圆 $A$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M 、 N$ 两点. 若 $\angle$ $M A N=60^{\circ}$, 则 $C$ 的离心率为
已知 $F$ 为双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$
的右焦点, $A$ 为 $C$ 的右顶点, $B$ 为 $C$ 上的点, 且 $B F$ 垂直于 $x$ 轴. 若 $A B$ 的斜率为 3 , 则 $C$ 的离心率为
已知 $F$ 为双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点, $A$ 为 $C$ 的右顶点, $B$ 为 $C$ 上的点, 且 $B F$ 垂直于 $x$ 轴, 若 $A B$ 的斜率为 3 , 则 $C$ 的离心率为
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$ 的左焦点为 $F$, 点 $P$ 在椭圆上且在轴的上方, 若线段 $P F$ 的中点在 以原点 $O$ 为圆心, $|O F|$ 为半径的圆上, 则直线 $P F$ 的斜率是
若函数 $f(x)=x \ln x+1$, 则 $f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为
已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{m}=1(m>0)$ 的渐近线方程为 $y=\pm \sqrt{2} x, F_{1}, F_{2}$ 分别是 $C$ 的左、右焦点, $P$ 为 $C$ 右支上一点. 若 $\left|P F_{1}\right|=m-1$, 则 $\left|P F_{2}\right|=$
曲线 $y=x^{3}$ 在点 $A(-1,-1)$ 处的切线与曲线 $y=x^{3}$ 的另一个公共点为 $B(m, n)$, 则 $m+n$ $=$
已知抛物线 $y^2=2 p x(p>0)$, 其焦点为 $F(1,0)$, 准线为 $l$, 过 $F$ 的直线交拋物线于 $A, B$ 两点, 连接 $A O$ ( $O$ 为原点) 交 $l$ 于 $C$, 连接 $B O$ 交 $l$ 于 $D$, 则四边形 $A B C D$ 面 积的最小值为
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1$ 的右焦点为 $F_2$, 过点 $F_2$ 斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与双曲线C 的右支交于$A, B$ 两点, 点 $P(-2 \sqrt{3}, 0)$, 若 $\triangle A B P$ 的外心 $Q$ 的横坐标为 0 , 则直线 $l$ 的方程为
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 圆 $C$ 的方程为 $x^2+y^2-8 x+15=0$, 若直线 $y=k x-2$ 上至少存在一点, 使得以该点为圆心, 1 为半径的圆与圆 $C$ 有公共点, 则 $k$ 的最大值是
过双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点 $F$ 作其中一条渐近线的垂线, 垂足为 $Q$, 直线 $F Q$ 与双 曲线的左、右两支分别交于点 $M, N$, 若 $|M Q|=3|Q N|$, 则双曲线的离心率是
已知双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$, 过双曲线的右焦点 $F$ 作一条渐近线的平行线 $l$ 与双曲线交于点 $P$, 与另一条渐近线交于点 $Q, O$ 是坐标原点, 则 $\frac{S_{\triangle O P Q}}{S_{\triangle O P F}}=$
经过点 $P(2,3)$, 且在 $x$ 轴上的藋距等于在 $y$ 轴上的截距的 2 倍的直线 $l$ 的方程为
已知 $F_1, F_2$ 是椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左, 右焦点, $A$ 是椭圆 $C$ 的左顶点, 点 $P$ 在过 $A$ 且 斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 的直线上, $\triangle P F_1 F_2$ 为等胜三角形, $\angle F_1 F_2 P=120^{\circ}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为
设圆 $C$ 与两圆 $C_1:(x+2)^2+y^2=1, C_2:(x-2)^2+y^2=1$ 中的一个内切, 另一个外切, 过圆心 $C$ 的轨迹 $E$ 上的一点 $M(2,3)$ 作斜率为 $\frac{3}{4}$ 的直线 $l$, 与曲线 $E$ 交于另外一点 $N$, 则 $\triangle C_2 M N$ 的周长
已知点 $P$ 是抛物线 $x^2=8 y$ 上动点, $F$ 是拋物线的焦点, 点 $A$ 的坐标为 $(0,-2)$, 则 $\frac{P F}{P A}$ 的最小值为
古希腊数学家阿基米德早在 2200 多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆 $\frac{x^2}{28}+\frac{y^2}{7}=1$, 则该椭圆的面积为
过双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点作一条直线, 当直线的斜率为 $-1$ 时, 直线与双曲 线的左、右两支各有一个交点, 当直线的斜率为 $-\sqrt{3}$ 时, 直线与双曲线的左支有两个不同的 交点, 则双曲线的离心率可以为
已知圆 $C:(x+3)^2+(y-2)^2=4$, 则直线 $l: a x+y+2 a-1=0$ 被圆 $C$ 截得的弦长的最小 值为
一条沿直线传播的光线经过点 $P(-3,7)$ 和 $Q(-2,5)$, 然后被直线 $y=x-2$ 反射, 则人射点 的坐标为 （ ） , 反射光线所在直线在 $y$ 轴上的截距为 （ ）.
已知直线 $l: 3 x-y-5=0$ 与圆 $C: x^2+y^2-2 x-6 y+6=0$ 交于 $A, B$ 两点, 则 $|A B|=$
已知 $F_1, F_2$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左右焦点, $A$ 是其右顶点, 过点, $F_2$ 作直线 $l \perp x$ 轴交椭圆于 $M$, $N$ 两点, 若 $M F_1 / / A N$, 则椭圆的蓠心率是
过点 $P(4,5)$ 作圆 $C:(x-1)^2+(y-2)^2=4$ 的两条切线, 切点分别为 $A 、 B$, 则 $A B$ 的直线方程为
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1$ 和 $F_2, O$ 为坐标原点, 过 $F_2$ 作渐近线 $y=\frac{b}{a} x$ 的垂线, 垂足为 $P$, 若 $\angle F_1 P O=\frac{\pi}{6}$, 则双曲线的离心率为 ; 又过点 $P$ 作双曲线的切线交另一条渐近线于点 $Q$, 且 $\triangle O P Q$ 的面积 $S_{\triangle O P Q}$ $=2 \sqrt{3}$, 则该双曲线的方程为
已知函数 $f(x)=(a x+b) e^x$, 若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程为 $3 x-y+1=0$, 则 $f(1)$ 的值为
抛物线的光学性质是: 位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后 的反射线都与抛物线的对称轴平行. 已知抛物线 $C: y^2=4 x$ 的焦点为 $F$, 直线 $l: y=5$, 点 $P, Q$ 分别是 $C, l$ 上的动点, 若 $Q$ 在某个位置时, $P$ 仅存在唯一的位 置使得 $|P F|=|P Q|$, 则满足条件的所有 $|P Q|$ 的值为