题号:2655    题型:填空题    来源:河北省 2023 届高三学生全过程纵向评价 (一)
已知双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$, 过双曲线的右焦点 $F$ 作一条渐近线的平行线 $l$ 与双曲线交于点 $P$, 与另一条渐近线交于点 $Q, O$ 是坐标原点, 则 $\frac{S_{\triangle O P Q}}{S_{\triangle O P F}}=$
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答案:
$\frac{1}{3}$

解析:

根据题意知 $F(4,0)$, 不妨设直线 $l$ 的方程为: $y=-\sqrt{3}(x-4)$, 代入双曲线方程, 得 $3 x^2-3(x-4)^2=12$, 解得 $x=\frac{5}{2}, y=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$, 即 $P\left(\frac{5}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)$, 双曲线的另一条渐近线方程为 $y=\sqrt{3} x$, 联立两条直线方程 $\left\{\begin{array}{l}y=-\sqrt{3}(x-4) \\ y=\sqrt{3} x\end{array}\right.$, 解得 $x=2, y=2 \sqrt{3}$, 即 $Q(2,2 \sqrt{3}), \therefore \frac{S_{\triangle O P F}}{S_{\triangle O Q F}}=\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{2}}{2 \sqrt{3}}=\frac{3}{4}, \therefore \frac{S_{\triangle O P Q}}{S_{\triangle O P F}}=\frac{1}{3}$.
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