解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知双曲线 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$, 焦距为 4 .
(1) 求双曲线 $C$ 的方程:
(2) 若直线 $l$ 过双曲线的右焦点且与双曲线的右支交于 $A, B$ 两点, 与 $y$ 轴交于 $M$ 点, $O$
为坐标原点, 若 $\overrightarrow{M O}=\overrightarrow{O N}$, 求 $\triangle A B N$ 面积的取值范围.
如图, 己知点 $F(1,0)$ 为抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$, 点 $F$ 为焦点, 过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A 、 B$ 两点, 点 $C$ 在抛物线上, 使得 $\triangle A B C$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上, 直 线 $A C$ 交 $x$ 轴于点 $Q$, 且 $Q$ 在点 $F$ 右侧. 记 $\triangle A F G, \triangle C Q G$ 的面积为 $S_{1}, S_{2}$.
(1) 求 $p$ 的值及抛物线的标准方程;
(2) 求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值及此时点 $G$ 的坐标.
已知平面上动点 $Q(x, y)$ 到 $F(0,1)$ 的距离比 $Q(x, y)$ 到直线 $l: y=-2$ 的距离小 1 , 记动点 $Q(x$,
y) 的轨迹为曲线 $C$.
(1) 求曲线 $C$ 的方程.
（2）设点 $P$ 的坐标为 $(0,-1)$, 过点 $P$ 作曲线 $C$ 的切线, 切点为 $A$, 若过点 $P$ 的直线 $m$ 与曲线 $C$ 交于 $M$, $N$ 两点, 证明: $\angle A F M=\angle A F N$.