解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点为 $F(3,0), F$ 到其中一条渐近线的距离为 2 .
(1) 求双曲线 $C$ 的方程;
(2) 过 $F$ 的直线交曲线 $C$ 于 $A, B$ 两点 (其中 $A$ 在第一象限), 交直线 $x=\frac{5}{3}$ 于点 $M$,
(i) 求 $\frac{|A F| \cdot|B M|}{|A M| \cdot|B F|}$ 的值;
(ii) 过 $M$ 平行于 $O A$ 的直线分别交直线 $O B 、 x$ 轴于 $P, Q$, 证明: $|M P|=|P Q|$.
抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 上的点 $M\left(1, y_0\right)$ 到抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 的距离为 $2, A 、 B$ (不与 $O$ 重合) 是抛物线 $C$ 上两个动点, 且 $O A \perp O B$.
(1) 求抛物线 $C$ 的标准方程;
(2) $x$ 轴上是否存在点 $P$ 使得 $\angle A P B=2 \angle A P O$ ? 若存在, 求出点 $P$ 的坐标, 若不存 在, 说明理由.
已知 $F_1, F_2$ 为椭圆 $C: \frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的左右焦点, $P$ 为椭圆 $C$ 上一点. 若 $\triangle P F_1 F_2$ 为直角三角形, 且 $\left|P F_1\right| \geqslant\left|P F_2\right|$.
(1) 求 $\frac{\left|P F_1\right|}{\left|P F_2\right|}$ 的值;
(2) 若直线 $l: y=k x+m(k \neq 0)$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点, 线段 $A B$ 的垂直平分线经过点 $N\left(0,-\frac{1}{2}\right)$, 求实数 $m$ 的取值范围.