设双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点为 $F(3,0), F$ 到其中一条渐近线的距离为 2 .
(1) 求双曲线 $C$ 的方程;
(2) 过 $F$ 的直线交曲线 $C$ 于 $A, B$ 两点 (其中 $A$ 在第一象限), 交直线 $x=\frac{5}{3}$ 于点 $M$,
(i) 求 $\frac{|A F| \cdot|B M|}{|A M| \cdot|B F|}$ 的值;
(ii) 过 $M$ 平行于 $O A$ 的直线分别交直线 $O B 、 x$ 轴于 $P, Q$, 证明: $|M P|=|P Q|$.
抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 上的点 $M\left(1, y_0\right)$ 到抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 的距离为 $2, A 、 B$ (不与 $O$ 重合) 是抛物线 $C$ 上两个动点, 且 $O A \perp O B$.
(1) 求抛物线 $C$ 的标准方程;
(2) $x$ 轴上是否存在点 $P$ 使得 $\angle A P B=2 \angle A P O$ ? 若存在, 求出点 $P$ 的坐标, 若不存 在, 说明理由.
已知 $F_1, F_2$ 为椭圆 $C: \frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的左右焦点, $P$ 为椭圆 $C$ 上一点. 若 $\triangle P F_1 F_2$ 为直角三角形, 且 $\left|P F_1\right| \geqslant\left|P F_2\right|$.
(1) 求 $\frac{\left|P F_1\right|}{\left|P F_2\right|}$ 的值;
(2) 若直线 $l: y=k x+m(k \neq 0)$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点, 线段 $A B$ 的垂直平分线经过点 $N\left(0,-\frac{1}{2}\right)$, 求实数 $m$ 的取值范围.
过点 $(4,2)$ 的动直线 $l$ 与双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 交于 $M, N$ 两点, 当 $l$ 与 $x$ 轴
平行时, $|M N|=4 \sqrt{2}$, 当 $l$ 与 $y$ 轴平行时, $|M N|=4 \sqrt{3}$.
(1) 求双曲线 $E$ 的标准方程;
(2) 点 $P$ 是直线 $y=x+1$ 上一定点, 设直线 $P M, P N$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$, 若 $k_1 k_2$ 为定 值, 求点 $P$ 的坐标.
已知圆 $A_1:(x+1)^2+y^2=16$, 直线 $l_1$ 过点 $A_2(1,0)$ 且与圆 $A_1$ 交于点 $B, C, B C$ 中点为 $D$, 过 $A_2 C$ 中点 $E$
且平行于 $A_1 D$ 的直线交 $A_1 C$ 于点 $P$, 记 $P$ 的轨迹为 $\Gamma$.
(1) 求 $\Gamma$ 的方程;
(2) 坐标原点 $O$ 关于 $A_1, A_2$ 的对称点分别为 $B_1, B_2$, 点 $A_1, A_2$ 关于直线 $y=x$ 的对称点分别为 $C_1, C_2$, 过 $A_1$ 的直线 $l_2$ 与 $\Gamma$ 交于点 $M, N$, 直线 $B_1 M, B_2 N$ 相交于点 $Q$. 请从下列结论中, 选择一个正确的结论并给予 证明.
①$\triangle Q B_1 C_1$ 的面积是定值;② $\triangle Q B_1 B_2$ 的面积是定值:③$\triangle Q C_1 C_2$ 的面积是定值.
在平面直角坐标系中, $M(-3,0), N(3,0), P$ 为曲线 $E$ 上一点, 直线 $M P, N P$ 的斜率之积为 $-\frac{5}{9}$.
(1)求曲线 $E$ 的标准方程;
(2) 过点 $F(2,0)$ 作直线 $l$ 交曲线 $E$ 于 $A, B$ 两点, 且点 $A$ 位于 $x$ 轴的上 方, 记直线 $M B, N A$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$.
(1) 证明: $\frac{k_1}{k_2}$ 为定值;
(ii) 过点 $B$ 作 $B C$ 垂直 $x$ 轴交曲线 $E$ 于不同于点 $A$ 的点 $C$, 直线 $A C$ 与 $x$ 轴交于点 $D$, 求 $\triangle A D F$ 面积的最大值.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 点 $A$ 在 $C$ 上, 当 $A F_1 \perp x$ 轴时, $\left|A F_1\right|=\frac{1}{2}$; 当 $\left|A F_1\right|=2$ 时, $\angle F_1 A F_2=\frac{2 \pi}{3}$.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 已知斜率为 -1 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点, 与直线 $x=1$ 交于点 $Q$, 且点 $M, N$ 在直线 $x=1$ 的两侧, 点 $P(1, t)(t>0)$. 若 $|M P| \cdot|N Q|=|M Q| \cdot|N P|$, 是否 存在到直线 $l$ 的距离 $d=\sqrt{2}$ 的 $P$ 点? 若存在, 求 $t$ 的值; 若不存在, 请说明理由.
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 且点 $P(2,1)$ 在椭圆 $C$ 上.
(1) 求椭圆 $C$ 的方程;
（2）若点 $A 、 B$ 都在椭圆 $C$ 上, 且 $A B$ 中点 $M$ 在线段 $O P$ (不包括端点) 上. 求 $\triangle A O B$ 面积的最 大值.
选修 4-1: 几何证明选讲 如图, $A B$ 为圆 $O$ 的直径, $P$ 为圆 $O$ 外一点, 过 $P$ 点作 $P C \perp A B$ 于 $C$, 交圆 $O$ 于 $D$ 点, $P A$ 交圆$O$ 于 $E$ 点, $B E$ 交 $P C$ 于 $F$ 点.
(1) 求证: $\angle P=\angle A B E$;
(2) 求证: $C D^2=C F \cdot C P$.
坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 以原点 $O$ 为极点, $O x$ 轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C_1$ 的方程为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\frac{1}{\tan \varphi} \\
y=\frac{1}{\tan ^2 \varphi}
\end{array}\right.
$$ ( $\varphi$ 为参数), 曲线 $C_2$ 的极坐标方程为: $\rho(\cos \theta+\sin \theta)=1$, 若曲线 $C_1$ 与 $C_2$ 相交于
$A 、 B$ 两点.
（1）求 $|A B|$ 的值;
（2）求点 $M(-1,2)$ 到 $A 、 B$ 两点的距离之积.
已知直线 $l: x=\frac{1}{2}$ 与点 $F(2,0)$, 过直线 $l$ 上的一动点 $Q$ 作直线 $P Q \perp l$, 且点 $P$ 满足 $(\overrightarrow{P F}+$ $2 \overrightarrow{P Q}) \cdot(\overrightarrow{P F}-2 \overrightarrow{P Q})=0$.
(1) 求点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程;
(2) 过点 $F$ 作直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, 设 $M(-1,0)$, 直线 $A M$ 与直线 $l$ 相交于点 $N$. 试 问: 直线 $B N$ 是否经过 $x$ 轴上一定点? 若过定点, 求出该定点坐标; 若不过定点, 请说明理由.
已知抛物线 $C: x^2=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$, 准线 $l$ 与抛物线 $C$ 的对称轴的交点为 $K$, 点 $D(2, t)$ 在抛物线 $C$ 上, 且 $|D K|=\sqrt{2}|D F|$.
(1) 求抛物线 $C$ 的方程;
(2) 若直线 $l_1: k x-y-2 k=0(k>0)$ 交抛物线 $C$ 于 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)\left(x_1>x_2\right)$ 两点, 点 $A$ 在 $y$ 轴上的投影为 $E$, 直线 $A E$ 分别与直线 $O B$ ( $O$ 为坐标原点) 交于点 $Q$, 与直线 $l_2: y=x$ 交于点 $P$, 记 $\triangle O A P$ 的面积为 $S_1, \triangle O P Q$ 的面积为 $S_2$, 求证: $S_1=S_2$.
已知圆 $C_1$ 过点 $(-3,0),(-1,2),(1,0)$, 抛物线 $C_2: y^2=2 p x(p>0)$ 过点 $A\left(\frac{1}{4}, 1\right)$.
(1) 求圆 $C_1$ 的方程以及抛物线 $C_2$ 的方程;
(2) 过点 $A$ 作抛物线 $C_2$ 的切线 $l$ 与圆 $C_1$ 交于 $P, Q$ 两点, 点 $B$ 在圆 $C_1$ 上, 且直线 $B P, B Q$ 均为抛物线 $C_2$的切线, 求满足条件的所有点 $B$ 的坐标.
已知等轴双曲线的顶点 $F_1(-2,0), F_2(2,0)$ 分别是椭圆 $C$ 的左、右焦点, 且 $x=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 是粗圆与双 曲线某个交点的横坐标.
(1) 求椭圆 $C$ 的方程;
(2) 设直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点, 以线段 $A B$ 为直径的圆过椭圆的上顶点 $M$, 求证: 直 线 $l$ 恒过定点.
在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos ^k t, \\ y=\sin ^k t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数). 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半 轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $4 \rho \cos \theta-16 \rho \sin \theta+3=0$.
(1) 当 $k=1$ 时, $C_1$ 是什么曲线?
(2) 当 $k=4$ 时, 求 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点的直角坐标.
$P$ 为圆 $A:(x+2)^2+y^2=36$ 上一动点, 点 $B$ 的坐标为 $(2,0)$, 线段 $P B$ 的垂直平分线交直线 $A P$ 于点 $Q$.
(1)求点 $Q$ 的轨迹方程 $C$;
(2) 在 (1) 中曲线 $C$ 与 $x$ 轴的两个交点分别为 $A_1$ 和 $A_2, M 、 N$ 为曲线 $C$ 上异于 $A_1 、 A_2$ 的两点, 直线 $M N$ 不过坐标原点, 且不与坐标轴平行. 点 $M$ 关于原点 $O$ 的对称点为 $S$, 若直线 $A_1 S$ 与直线 $A_2 N$ 相交 于点 $T$, 直线 $O T$ 与直线 $M N$ 相交于点 $R$, 证明: 在曲线 $C$ 上存在定点 $E$, 使得 $\triangle R B E$ 的面积为定值, 并求该定值.
设抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点, $|M N|_{\min }=4$.
(1)求 $C$ 的方程;
(2)设点 $D(2 p, 0)$, 直线 $M D, N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$, 当直线 $M N, A B$ 的斜率存在时, 分别记为
$k_1, k_2$. 则 $\frac{k_1}{k_2}$ 是否为常数, 请说明理由.
极坐标系, 曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $\rho^2+2 \rho \cos \theta-4=0$.
(1) 把 $C_1$ 的参数方程化为极坐标方程;
(2) 求 $C_1$ 与 $C_2$ 交点的极坐标 $(\rho \geq 0,0 \leq \theta < 2 \pi)$.
已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点, 左焦点为 $(-2 \sqrt{5}, 0)$, 离心率为 $\sqrt{5}$.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 记 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_1, A_2$, 过点 $(-4,0)$ 的直线与 $C$ 的左支交于 $M, N$ 两点, $M$ 在第二象限, 直线 $M A_1$ 与 $N A_2$ 交于点 $P$. 证明: 点 $P$ 在定直线 上.
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 点 $P$ 到 $x$ 轴的距离等于其到点 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 的距离, 动点 $P$ 的轨迹为 $W$.
(1) 求 $W$ 的方程:
(2) 若矩形 $A B C D$ 上伯三个点在 $W$ 上, 证明: $A B C D$ 的周长 $>3 \sqrt{3}$.