设双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点为 $F(3,0), F$ 到其中一条渐近线的距离为 2 .
(1) 求双曲线 $C$ 的方程;
(2) 过 $F$ 的直线交曲线 $C$ 于 $A, B$ 两点 (其中 $A$ 在第一象限), 交直线 $x=\frac{5}{3}$ 于点 $M$,
(i) 求 $\frac{|A F| \cdot|B M|}{|A M| \cdot|B F|}$ 的值;
(ii) 过 $M$ 平行于 $O A$ 的直线分别交直线 $O B 、 x$ 轴于 $P, Q$, 证明: $|M P|=|P Q|$.