已知抛物线 $C: x^2=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$, 准线 $l$ 与抛物线 $C$ 的对称轴的交点为 $K$, 点 $D(2, t)$ 在抛物线 $C$ 上, 且 $|D K|=\sqrt{2}|D F|$.
(1) 求抛物线 $C$ 的方程;
(2) 若直线 $l_1: k x-y-2 k=0(k>0)$ 交抛物线 $C$ 于 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)\left(x_1>x_2\right)$ 两点, 点 $A$ 在 $y$ 轴上的投影为 $E$, 直线 $A E$ 分别与直线 $O B$ ( $O$ 为坐标原点) 交于点 $Q$, 与直线 $l_2: y=x$ 交于点 $P$, 记 $\triangle O A P$ 的面积为 $S_1, \triangle O P Q$ 的面积为 $S_2$, 求证: $S_1=S_2$.