已知直线 $l: x=\frac{1}{2}$ 与点 $F(2,0)$, 过直线 $l$ 上的一动点 $Q$ 作直线 $P Q \perp l$, 且点 $P$ 满足 $(\overrightarrow{P F}+$ $2 \overrightarrow{P Q}) \cdot(\overrightarrow{P F}-2 \overrightarrow{P Q})=0$.
(1) 求点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程;
(2) 过点 $F$ 作直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, 设 $M(-1,0)$, 直线 $A M$ 与直线 $l$ 相交于点 $N$. 试 问: 直线 $B N$ 是否经过 $x$ 轴上一定点? 若过定点, 求出该定点坐标; 若不过定点, 请说明理由.