在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos ^k t, \\ y=\sin ^k t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数). 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半 轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $4 \rho \cos \theta-16 \rho \sin \theta+3=0$.
(1) 当 $k=1$ 时, $C_1$ 是什么曲线?
(2) 当 $k=4$ 时, 求 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点的直角坐标.