2023年安徽省皖江名校联盟高考数学第五次摸底联考试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知 $F_1, F_2$ 为椭圆 $C: \frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的左右焦点, $P$ 为椭圆 $C$ 上一点. 若 $\triangle P F_1 F_2$ 为直角三角形, 且 $\left|P F_1\right| \geqslant\left|P F_2\right|$.
(1) 求 $\frac{\left|P F_1\right|}{\left|P F_2\right|}$ 的值;

(2) 若直线 $l: y=k x+m(k \neq 0)$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点, 线段 $A B$ 的垂直平分线经过点 $N\left(0,-\frac{1}{2}\right)$, 求实数 $m$ 的取值范围.

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答案：

【解答】解: (1) 由椭圆的方程: $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 可得 $a=\sqrt{2}, b=1$, 所以 $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{2-1}=1$, 即 $b=c$, 所以以 $F_1 F_2$ 为直径的圆与椭圆只有两个交点, 即椭圆的上下顶点,
因为 $\left|P F_1\right| \geqslant\left|P F_2\right|$, 所以只有 $\angle F_1 P F_2$ 或 $\angle P F_2 F_1$ 为直角,
当 $\angle F_1 P F_2$ 为直角时, 即 $\left|P F_1\right|=\left|P F_2\right|$, 这时 $\frac{\left|P F_1\right|}{\left|P F_2\right|}=1$;
当 $\angle P F_2 F_1$ 为直角时, 则 $\left|P F_2\right|=\frac{b^2}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, 所以 $\left|P F_1\right|=2 a-\left|P F_2\right|=2 \sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$,
所以 $\frac{\left|P F_1\right|}{\left|P F_2\right|}=\frac{\frac{3 \sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=3$;
综上所述: $\frac{\left|P F_1\right|}{\left|P F_2\right|}=1$ 或 $\frac{\left|P F_1\right|}{\left|P F_2\right|}=3$ ；
(2) 设 $A\left(x_1, y_1\right) B\left(x_2, y_2\right)$,
联立 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+m \\ x^2+2 y^2=2\end{array}\right.$, 整理可得: $\left(1+2 k^2\right) x^2+4 k m x+2 m^2-2=0$,
$\triangle=16 k^2 m^2-4\left(1+2 k^2\right)\left(2 m^2-2\right)>0$, 可得 $m^2 < 1+2 k^2$, 且 $x_1+x_2=-\frac{4 k m}{1+2 k^2}$, $y_1+y_2=k\left(x_1+x_2\right)+2 m=\frac{-4 k^2 m}{1+2 k^2}+2 m=\frac{2 m}{1+2 k^2}$,
所以 $A B$ 的中点 $D\left(-\frac{2 k m}{1+2 k^2}, \frac{m}{1+2 k^2}\right)$,
由题意可得 $k_{D N}=\frac{\frac{m}{1+2 k^2}+\frac{1}{2}}{-\frac{2 k m}{1+2 k^2}}=-\frac{1}{k}$,
整理可得: $1+2 k^2=2 m$, 代入 $m^2 < 1+2 k^2$ 可得 $m^2-2 m < 0$,
解得 $0 < m < 2$,
即 $m$ 的范围为 $(0,2)$.

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