平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $\Gamma: y^2=4 x ， F$ 为 $\Gamma$ 的焦点. $A, B$ 为 $\Gamma$ 上的两个不重合的动点，使得线段 $A B$ 的一个三等分点 $P$ 位于线段 $O F$ 上 (含端点). 记 $Q$ 为线段 $A B$的另一个三等分点，求点 $Q$ 的轨迹方程.
在直角坐标系 $x O y$ 中, 点 $P$ 到 $x$ 轴的距离等于点 $P$ 到点 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 的距离, 记动点 $P$ 的轨迹为 $W$.
(1)求 $W$ 的方程;
(2)已知矩形$ABCD$有三个顶点在$W$上，证明：矩形$ABCD$的周长大于$3\sqrt{2}$
已知直线 $l: 2 x-3 y+1=0$, 点 $A(-1,-2)$. 求:
(1) 点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A^{\prime}$ 的坐标;
(2) 直线 $m: 3 x-2 y-6=0$ 关于直线 $l$ 的对称直线 $m^{\prime}$ 的方程;
(3) 直线 $l$ 关于点 $A$ 对称的直线 $l^{\prime}$ 的方程.
求满足下列条件的直线的方程:
(1) 直线 $l$ 经过两条直线 $2 x+y-8=0$ 和 $x-2 y+1=0$ 的交点, 且平行于直线 $4 x-3 y-7=0$. 求直线 $l$ 的方程;
(2) 已知 $\triangle A B C$ 的顶点 $A(5,1)$, 边 $A B$ 上的中线 $C M$ 所在直线方程为 $2 x-y-5=0$, 边 $A C$ 上的高 $B H$ 所在直线方程为 $x-2 y-5=$ 0 , 求直线 $B C$ 的方程.
已知 $x^2+y^2-4 x+2 m y+2 m^2-2 m+1=0(m \in R)$ 表示圆 $C$ 的方程.
(1) 求实数 $m$ 的取值范围;
(2) 当圆 $C$ 的面积最大时, 求过点 $A(4,-4)$ 圆的切线方程;
(3) $P$ 为圆上任意一点, 已知 $B(6,0)$, 在 (2) 的条件下, 求 $|P A|^2+|P B|^2$ 的最小值.
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F(2,0)$, 一条渐进线方程为
$$
y=\sqrt{3} x
$$
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 在 $x$ 轴上是否存在与 $F$ 不重合的点 $P$, 使得当过点 $F$ 的直线与 $C$ 的右支交于 $A$, $B$ 两点时, $\frac{|A F|}{|B F|}=\frac{|A P|}{|B P|}$ 总成立? 若存在, 求出点 $P$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{b^2}=1(b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_1, F_2, C$ 是椭圆的中心, 点 $M$ 为其上的一点满足 $\left|M F_1\right| \cdot\left|M F_2\right|=5,|M C|=2$.
(1) 求棚圆 $C$ 的方程;
(2) 设定点 $T(t, 0)$, 过点 $T$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P, Q$ 两点, 若在 $C$ 上存在一点 $A$, 使得直线 $A P$的斜率与直线 $A Q$ 的斜率之和为定值, 求 $t$ 的范围.
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$, 直线 $l$ 过双曲线 $C$ 的右焦点 $F$ 且交右支于 $A, B$ 两点, 点 $S$ 为线段 $A B$ 的中点, 点 $T$ 在 $x$ 轴上, $S T \perp A B$.
(I) 求双曲线 $C$ 的渐近线方程;
(II) 若 $\overrightarrow{T S} \cdot \overrightarrow{T B}=\frac{80}{9}$, 求直线 $l$ 的方程.
已知抛物线 $C: y^2=2 p x \quad(0 < p < 5)$ 上一点 $M$ 的纵坐标为 3 , 点 $M$ 到焦点距离为 5 .
(1) 求抛物线 $C$ 的方程;
(2) 过点 $(1,0)$ 作直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点, 过点 $A, B$ 分别作 $C$ 的切线 $l_1$ 与 $l_2, l_1$ 与
$l_2$ 相交于点 $D$, 过点 $A$ 作直线 $l_3$ 垂直于 $l_1$, 过点 $B$ 作直线 $l_4$ 垂直于 $l_2, l_3$ 与 $l_4$ 相交于点 $E$,
$l_1 、 l_2 、 l_3 、 l_4$ 分别与 $x$ 轴交于点 $P 、 Q 、 R 、 S$. 记 $\triangle D P Q 、 \triangle D A B 、 \triangle E A B 、 \triangle E R S$ 的面积分别为 $S_1 、 S_2 、 S_3 、 S_4$. 若 $S_1 S_2=4 S_3 S_4$, 求直线 $A B$ 的方程.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$, 且 $\frac{b^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}=\frac{17}{4}$.
(1)求 $C$ 的方程;
(2) $A$ 是 $C$ 的下顶点, 过点 $P(4,0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $M, N$ 两点,直线 $l$ 的斜率小于 0 , $\triangle A M N$ 的重心为 $G, O$ 为坐标原点, 求直线 $O G$ 斜率的最大值.
在平面直角坐标系中, 已知点 $F_1(-2,0), F_2(2,0)$, 点 $P$ 满足 $\left|P F_1\right|-\left|P F_2\right|=2$, 记点 $P$的轨迹为 $\Gamma$.
(1) 求 $\Gamma$ 的方程及其渐近线的方程;
(2) 设直线 $l$ 与 $\Gamma$ 交于点 $A, B$, 与 $\Gamma$ 的渐近线交于点 $C, D$, 求 $|A C| \cdot|A D|$ 的取值范围.
设双曲线 $x^2-y^2=1$ 上一点 $\mathrm{P}, \mathrm{O}$ 为原点, 若直线 $\mathrm{OP}$ 上一点 $\mathrm{Q}$, 满足 $O P \times O Q=1$, 求 $Q$ 点轨迹方程。
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$, 且抛物线 $y^2=4 x$ 的焦点恰好是椭圆 $C$ 的一个焦点.
(1) 求椭圆 $C$ 的方程;
(2) 与圆 $x^2+y^2=2$ 相切的直线 $l: y=k x+t$ 交椭圆 $C$ 于 $M, N$ 两点, 若椭圆上存在点 $P$ 满足 $\overrightarrow{O P}=\mu(\overrightarrow{O M}+$ $\overrightarrow{O N})(\mu>0), O$ 为坐标原点, 求四边形 $O M P N$ 面积的取值范围.
设动圆 $\mathrm{M}$ 与圆 $F_1:(x+1)^2+y^2=\frac{1}{4}$ 外切, 与圆 $F_2:(x-1)^2+y^2=\frac{49}{4}$ 内切.
( I ) 求点 $M$ 的轨迹 $\mathrm{C}$ 的方程;
(II) 过点 $F_2$ 且不与 $\mathrm{x}$ 轴垂直的直线 $l$ 交轨迹 $\mathrm{C}$ 于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点, 点 $\mathrm{A}$ 关于 $\mathrm{x}$ 轴的对称点为 $A^{\prime}, Q$ 为 $\triangle A A^{\prime} B$的外心, 试探究 $\frac{\left|Q F_2\right|}{|A B|}$ 是否为定值, 若是, 求出该定值; 若不是, 请说明理由.
设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右顶点分别为 $A_1, A_2$, 右焦点为 $F$ ，已知 $\overrightarrow{A_1 \mathrm{~F}}=3 \overrightarrow{F A_2}$.
(1)求椭圆的离心率.
(2)已知椭圆右焦点 $F$ 的坐标为 $(1,0), P$ 是椭圆在第一象限的任意一点，且直线 $A_2 P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$. 若 $\triangle A_1 P Q$ 的面积与 $\triangle A_2 F P$ 的面积相等,求直线 $A_2 P$ 的斜率.
已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$, 点 $P$ 是椭圆与 $x$ 轴正半轴的交点, 点 $Q$ 是椭圆与 $y$ 轴正半轴的交点, 且 $|F Q|=\sqrt{2},|P F|=\sqrt{2}-1$. 直线 $l$ 过圆 $O: x^2+y^2=1$ 的圆心, 并与椭圆相交于 $A, B$ 两点, 过点 $A$ 作圆 $O$ 的一条切线, 与椭圆的另一个交点为 $C$,且. $S_{\triangle A B C}=\frac{4}{3}$.
(1) 求椭圆的方程;
(2)求直线 $A C$ 的斜率.
已知直线 $l: y=k x-2$ 与抛物线 $E: x^2=2 p y(p>0)$ 交于 $A, B$ 两点, $F$ 为 $E$ 的焦点,直线 $F A, F B$ 的斜率之和为 0 .
(1) 求 $E$ 的方程;
(2) 直线 $F A, F B$ 分别交直线 $y=-2$ 于 $M, N$ 两点, 若 $|M N| \geqslant 16$, 求 $k$ 的取值范围.
已知拋物线 $C: y^2=4 x$ 的焦点为 $F$, 过 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点, 过 $F$ 与 $l$ 垂直的直线交 $C$ 手 $D, E$ 两点, 其中 $B, D$ 在 $x$ 轴上方, $M, N$ 分别为 $A B, D E$ 的中点.
(1) 证明：直线 $M N$ 过定点;
(2) 设 $G$ 为直线 $A E$ 与直线 $B D$ 的交点, 求 $\triangle G M N$ 面积的最小值.
坐标空间中, 设 O 为原点, E 为平面 $ x-z=4$ 。已知空间中有一点 $P(a, b, c)$ 满足向量 $\overrightarrow{O P}$ 与向量 $(1,0,0)$ 的夹角 $\theta \leq \frac{\pi}{6}$ 。
(1) 试说明实数 $a, b, c$ 满足不等式 $a^2 \geq 3\left(b^2+c^2\right)$ 。
(2)已知点 $P$ 在平面 $E$ 上且 $b=0$ 。试求 $c$ 的最大可能范围, 并求线段 $\overline{O P}$ 的最小可能长度。
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F(2,0)$, 点 $M(\sqrt{6}, 1)$ 在椭圆上.
(1) 求椭圆 $C$ 的方程;
(2) 直线 $l: y=k x+m$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点, 若直线 $A F, B F$ 的倾斜角互补, 求 $\triangle A B F$ 面积的最大值.