已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$, 且抛物线 $y^2=4 x$ 的焦点恰好是椭圆 $C$ 的一个焦点.
(1) 求椭圆 $C$ 的方程;
(2) 与圆 $x^2+y^2=2$ 相切的直线 $l: y=k x+t$ 交椭圆 $C$ 于 $M, N$ 两点, 若椭圆上存在点 $P$ 满足 $\overrightarrow{O P}=\mu(\overrightarrow{O M}+$ $\overrightarrow{O N})(\mu>0), O$ 为坐标原点, 求四边形 $O M P N$ 面积的取值范围.