已知拋物线 $C: y^2=4 x$ 的焦点为 $F$, 过 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点, 过 $F$ 与 $l$ 垂直的直线交 $C$ 手 $D, E$ 两点, 其中 $B, D$ 在 $x$ 轴上方, $M, N$ 分别为 $A B, D E$ 的中点.
(1) 证明：直线 $M N$ 过定点;
(2) 设 $G$ 为直线 $A E$ 与直线 $B D$ 的交点, 求 $\triangle G M N$ 面积的最小值.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$