已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F(2,0)$, 一条渐进线方程为
$$
y=\sqrt{3} x
$$
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 在 $x$ 轴上是否存在与 $F$ 不重合的点 $P$, 使得当过点 $F$ 的直线与 $C$ 的右支交于 $A$, $B$ 两点时, $\frac{|A F|}{|B F|}=\frac{|A P|}{|B P|}$ 总成立? 若存在, 求出点 $P$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.