已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$, 且 $\frac{b^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}=\frac{17}{4}$.
(1)求 $C$ 的方程;
(2) $A$ 是 $C$ 的下顶点, 过点 $P(4,0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $M, N$ 两点,直线 $l$ 的斜率小于 0 , $\triangle A M N$ 的重心为 $G, O$ 为坐标原点, 求直线 $O G$ 斜率的最大值.