武汉市2023届高中毕业生四月调研考试数学试卷及参考答案-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

过点 $(4,2)$ 的动直线 $l$ 与双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 交于 $M, N$ 两点, 当 $l$ 与 $x$ 轴
平行时, $|M N|=4 \sqrt{2}$, 当 $l$ 与 $y$ 轴平行时, $|M N|=4 \sqrt{3}$.
(1) 求双曲线 $E$ 的标准方程;
(2) 点 $P$ 是直线 $y=x+1$ 上一定点, 设直线 $P M, P N$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$, 若 $k_1 k_2$ 为定值, 求点 $P$ 的坐标.

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答案：

(1) 根据双曲线的对称性, 双曲线 $E$ 过点 $( \pm 2 \sqrt{2}, 2)$ 和 $(4, \pm 2 \sqrt{3})$.
所以 $\left\{\begin{array}{l}\frac{8}{a^2}-\frac{4}{b^2}=1 \\ \frac{16}{a^2}-\frac{12}{b^2}=1\end{array}\right.$, 解得: $\left\{\begin{array}{l}a^2=4 \\ b^2=4\end{array}\right.$.
故双曲线 $E$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$.

(2) $\because(4,2) ， M, N$ 三点共线， $\therefore \frac{y_1-2}{x_1-4}=\frac{y_2-2}{x_2-4}$ ，
$$
\begin{aligned}
& \therefore\left\{\begin{array}{l}
x_1=\lambda x_2+4(1-\lambda) \\
y_1=\lambda y_2+2(1-\lambda)
\end{array}, \therefore\left[\lambda x_2+4(1-\lambda)\right]^2-\left[\lambda y_2+2(1-\lambda)\right]^2=4 ， \therefore \frac{1}{\lambda}=2-x_2+\frac{y_2}{2} ，\right. \\
& \therefore k_1 \cdot k_2=\frac{y_1-\left(x_0+1\right)}{x_1-x_0} \cdot \frac{y_2-\left(x_0+1\right)}{x_2-x_0} \\
& \therefore k_1 \cdot k_2=\frac{2 y_2-2 x_2+2-\left(2-x_2+\frac{y_2}
{2}\right)\left(x_0+1\right)}{\left(4-3 x_2+2 y_2\right)-\left(2-x_2+\frac{y_2}{2}\right) x_0} \cdot \frac{y_2-\left(x_0+1\right)}{x_2-x_0} \\
& \therefore k_1 \cdot k_2=\frac{y_2\left(\frac{3}{2}-\frac{x_0}{2}\right)+x_2\left(x_0-1\right)-2 x_0}{y_2\left(2-\frac{x_0}{2}\right)+x_2\left(x_0-3\right)+4-2 x_0} \cdot \frac{y_2-\left(x_0+1\right)}{x_2-x_0}
\end{aligned}
$$
根据约分 : $\frac{x_0-1}{1}=\frac{-2 x_0}{-x_0}$ 且 $\frac{1}{2-\frac{x_0}{2}}=\frac{-x_0-1}{4-2 x_0} \Rightarrow x_0=3$ ，
$\therefore$ 当 $x_0=3$ 时， $k_1 \cdot k_2=4$.
$\therefore P(3,4) ， k_1 \cdot k_2=4$ 时，成立

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