过点 $(4,2)$ 的动直线 $l$ 与双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 交于 $M, N$ 两点, 当 $l$ 与 $x$ 轴
平行时, $|M N|=4 \sqrt{2}$, 当 $l$ 与 $y$ 轴平行时, $|M N|=4 \sqrt{3}$.
(1) 求双曲线 $E$ 的标准方程;
(2) 点 $P$ 是直线 $y=x+1$ 上一定点, 设直线 $P M, P N$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$, 若 $k_1 k_2$ 为定 值, 求点 $P$ 的坐标.