在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 且点 $P(2,1)$ 在椭圆 $C$ 上.
(1) 求椭圆 $C$ 的方程;
（2）若点 $A 、 B$ 都在椭圆 $C$ 上, 且 $A B$ 中点 $M$ 在线段 $O P$ (不包括端点) 上. 求 $\triangle A O B$ 面积的最 大值.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$