已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点, 左焦点为 $(-2 \sqrt{5}, 0)$, 离心率为 $\sqrt{5}$.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 记 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_1, A_2$, 过点 $(-4,0)$ 的直线与 $C$ 的左支交于 $M, N$ 两点, $M$ 在第二象限, 直线 $M A_1$ 与 $N A_2$ 交于点 $P$. 证明: 点 $P$ 在定直线 上.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$