解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
直线 $x-2 y+1=0$ 与 $y^2=2 p x(p>0)$ 交与 $A ， B$ 两点， $|A B|=4 \sqrt{15}$
(1) 求 $P$ 的值;
(2) $F$ 为 $y^2=2 p x$ 的焦点， $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 为抛物线上的两点，且 $\overrightarrow{M F} \cdot \overrightarrow{N F}=0$ ，求 $\triangle M N F$ 面积的最小值
选修 4-4：坐标系与参数方程
已知 $p(2,1)$ ，直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=2+t \cos \alpha, \\ 1+t \sin \alpha,\end{array}\right.$ ( t为参数)， $\mid$ 与x轴， y轴正半轴交于A，B 两点， $|P A| \cdot|P B|=4$
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 以原点为极点，难正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程
已知椭圆 $C: \frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$, 点 $A(-2,0)$ 在 $C$ 上.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 过点 $(-2,3)$ 的直线交 $C$ 于点 $P, Q$ 两点, 直线 $A P, A Q$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $M, N$, 证明: 线段 $M N$ 的 中点为定点.