已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 点 $A$ 在 $C$ 上, 当 $A F_1 \perp x$ 轴时, $\left|A F_1\right|=\frac{1}{2}$; 当 $\left|A F_1\right|=2$ 时, $\angle F_1 A F_2=\frac{2 \pi}{3}$.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 已知斜率为 -1 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点, 与直线 $x=1$ 交于点 $Q$, 且点 $M, N$ 在直线 $x=1$ 的两侧, 点 $P(1, t)(t>0)$. 若 $|M P| \cdot|N Q|=|M Q| \cdot|N P|$, 是否 存在到直线 $l$ 的距离 $d=\sqrt{2}$ 的 $P$ 点? 若存在, 求 $t$ 的值; 若不存在, 请说明理由.