题号:1549    题型:解答题    来源:广西省柳州市2023届新高三摸底考试(文科数学)
已知平面上动点 $Q(x, y)$ 到 $F(0,1)$ 的距离比 $Q(x, y)$ 到直线 $l: y=-2$ 的距离小 1 , 记动点 $Q(x$,
y) 的轨迹为曲线 $C$.
(1) 求曲线 $C$ 的方程.
(2)设点 $P$ 的坐标为 $(0,-1)$, 过点 $P$ 作曲线 $C$ 的切线, 切点为 $A$, 若过点 $P$ 的直线 $m$ 与曲线 $C$ 交于 $M$, $N$ 两点, 证明: $\angle A F M=\angle A F N$.
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答案:
【分析】(1) 由题意列出方程化简求解即可;
(2) 要使 $\angle A F M=\angle A F N$, 只需 $k_{F M}+k_{F N}=0$, 利用斜率公式及根与系数的关系化简即可得证.
【小问 1 详解】
$Q(x, y)$, 由题意, 得 $\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}=|y+2|-1$,
当 $y \geq-2$ 时, $\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}=y+1$, 平方可得 $x^{2}=4 y$,
当 $y < -2$ 时, $\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}=-y-3$, 平方可得 $x^{2}=8(y+1)$, 由 $x^{2}=8(y+1) \geq 0$ 可知 $y \geq-1$, 不合题意, 舍去.
综上可得 $x^{2}=4 y$, 所以 $Q$ 的轨迹方程 $C$ 为 $x^{2}=4 y$.
【小问 2 详解】
不妨设 $A\left(t, \frac{t^{2}}{4}\right)(t > 0)$, 因为 $y=\frac{x^{2}}{4}$, 所以 $y^{\prime}=\frac{x}{2}$,
从而直线 $P A$ 的斜率为 $\frac{\frac{t^{2}}{4}+1}{t-0}=\frac{t}{2}$, 解得 $t=2$, 即 $A(2,1)$,
又 $F(0,1)$, 所以 $A F / / x$ 轴. 要使 $\angle A F M=\angle A F N$, 只需 $k_{F M}+k_{F N}=0$.
设直线 $m$ 的方程为 $y=k x-1$, 代入 $x^{2}=4 y$ 并整理, 得 $x^{2}-4 k x+4=0$.
首先, $\Delta=16\left(k^{2}-1\right) > 0$ ,解得 $k < -1$ 或 $k > 1$.
其次, 设 $M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 则 $x_{1}+x_{2}=4 k, x_{1} x_{2}=4$,

$$
\begin{aligned}
&k_{F M}+k_{F N}=\frac{y_{1}-1}{x_{1}}+\frac{y_{2}-1}{x_{2}}=\frac{x_{2}\left(y_{1}-1\right)+x_{1}\left(y_{2}-1\right)}{x_{1} x_{2}}=\frac{x_{2}\left(k x_{1}-2\right)+x_{1}\left(k x_{2}-2\right)}{x_{1} x_{2}}=2 k-\frac{2\left(x_{1}+x_{2}\right)}{x_{1} x_{2}} \\
&=2 k-\frac{8 k}{4}=0 \text {, 故 } \angle A F M=\angle A F N .
\end{aligned}
$$
此时直线 $m$ 的斜率的取值范围为 $(-\infty,-1) \cup(1,+\infty)$.

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