已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1$ 和 $F_2, O$ 为坐标原点, 过 $F_2$ 作渐近线 $y=\frac{b}{a} x$ 的垂线, 垂足为 $P$, 若 $\angle F_1 P O=\frac{\pi}{6}$, 则双曲线的离心率为 ; 又过点 $P$ 作双曲线的切线交另一条渐近线于点 $Q$, 且 $\triangle O P Q$ 的面积 $S_{\triangle O P Q}$ $=2 \sqrt{3}$, 则该双曲线的方程为
【答案】 $\frac{\sqrt{21}}{3} ; \frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}=1$

【解析】 方法一 : 设 $\angle P O F_2=\alpha$, 则有 $\tan \alpha=\frac{b}{a}$, 又$F_2 P$ 垂直于渐近线 $y=\frac{b}{a} x, \therefore|O P|=a,\left|P F_2\right|$ $=b$,
$\therefore \sin \alpha=\frac{b}{c}, \cos \alpha=\frac{a}{c}$,
在 $\triangle O F_1 P$ 中, 由正弦定理: $\frac{a}{\sin \left(\alpha-30^{\circ}\right)}$
$$
\begin{aligned}
& =\frac{c}{\sin 30^{\circ}}, \\
& \therefore \frac{a}{\frac{b}{c} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{a}{c} \cdot \frac{1}{2}}=\frac{2 c}{1}, \therefore a=\sqrt{3} b-a, \therefore 2 a= \\
& \sqrt{3} b, \therefore a=\frac{\sqrt{3}}{2} b, \therefore e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{21}}{3},
\end{aligned}
$$
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