已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1$ 和 $F_2, O$ 为坐标原点, 过 $F_2$ 作渐近线 $y=\frac{b}{a} x$ 的垂线, 垂足为 $P$, 若 $\angle F_1 P O=\frac{\pi}{6}$, 则双曲线的离心率为 ; 又过点 $P$ 作双曲线的切线交另一条渐近线于点 $Q$, 且 $\triangle O P Q$ 的面积 $S_{\triangle O P Q}$ $=2 \sqrt{3}$, 则该双曲线的方程为