题号:1007    题型:填空题    来源:2020年普通高等学校招生全国统一考试
已知 $F$ 为双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0, b > 0)$
的右焦点, $A$ 为 $C$ 的右顶点, $B$ 为 $C$ 上的点, 且 $B F$ 垂直于 $x$ 轴. 若 $A B$ 的斜率为 3 , 则 $C$ 的离心率为
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答案:
2

解析:

根据双曲线的几何性质可知, $|B F|=\frac{b^{2}}{a},|A F|=c-a$, 即可根据斜率列出等式求解即可.
依题可得, $\frac{|B F|}{|A F|}=3$, 而 $|B F|=\frac{b^{2}}{a},|A F|=c-a$, 即 $\frac{b^{2}}{c-a}=3$, 变形得 $c^{2}-a^{2}=3 a c-3 a^{2}$
, 化简可得, $e^{2}-3 e+2=0$, 解得 $e=2$ 或 $e=1$ (舍去).
故答案为: 2 .
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