已知抛物线$C：y^2=3x$ 的焦点为F，斜率为$\dfrac{3}{2}$的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若$|AF|+|BF|=4$，求 $l$ 的方程；
（2）若$\overrightarrow{A P}=3 \overrightarrow{P B}$ ，求$|AB|$．
己知抛物线 $C: \quad x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$, 且 $F$ 与圆 $M: x^{2}+(y+4)^{2}=1$ 上点的 距离的最小值为 $4 .$
（1）求 p;
（2）若点 $\mathrm{P}$ 在 $\mathrm{M}$ 上, $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$ 是 $\mathrm{C}$ 的两条切线, $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 是切点, 求 $\triangle \mathrm{PAB}$ 的最大值.
已知圆 $C:(x-1)^{2}+y^{2}=16$, 点 $F(-1,0), P$ 是圆 $C$ 上一动点, 若线段 $P F$ 的垂直平分线和 $C P$ 相交于点 $M$.
(1) 求点 $M$ 的轨迹方程 $E$.
(2) $A, B$ 是 $M$ 的轨迹方程与 $x$ 轴的交点 (点 $A$ 在点 $B$ 左边), 直线 $G H$ 过点 $T(4,0)$ 与轨迹 $E$ 交 于 $G, H$ 两点, 直线 $A G$ 与 $x=1$ 交于点 $N$, 求证: 动直线 $N H$ 过定点.
双曲线的中心为原点 $\mathrm{O}$, 焦点在 $\mathrm{x}$ 轴上, 两条渐近线分别为 $\mathrm{I}_{1}, \mathrm{I}_{2}$, 经过右焦点 $F$ 垂直于 $I_{1}$ 的直线分别交 $l_{1}, I_{2}$ 于 $A, B$ 两点. 已知 $|\overrightarrow{O A}| 、|\overrightarrow{A B}|$ 、
$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$ 成等差数列, 且 $\overrightarrow{\mathrm{BF}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{FA}}$ 同向.
（I）求双曲线的离心率;
（II ) 设 $A B$ 被双曲线所截得的线段的长为 4 , 求双曲线的方程.
如图, 已知抛物线 $E: y^{2}=x$ 与圆 $M:(x-4)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相交 于 $A 、 B 、 C 、 D$ 四个点.
( I ) 求 $\mathrm{r}$ 的取值范围;
(II ) 当四边形 $A B C D$ 的面积最大时, 求对角线 $A C 、 B D$ 的交点 $P$ 的坐标.
设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点, 过 $F_{1}$ 斜率为 1 的直线 $\ell$ 与 $E$ 相交于 $A, B$ 两点, 且 $\left|A F_{2}\right|,|A B|,\left|B_{2}\right|$ 成等差数列
(1) 求 $\mathrm{E}$ 的离心率;
(2) 设点 $P(0,-1)$ 满足 $|P A|=|P B|$, 求 $E$ 的方程.
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 已知点 $A(0,-1)$, B 点在直线 $y=-3$
上, $M$ 点满足 $\overrightarrow{M B} / / \overrightarrow{O A}, \overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{M B} \cdot \overrightarrow{B A}, M$ 点的轨迹为曲线 $C$.
(I) 求 C 的方程;
(II ) $P$ 为 $C$ 上的动点, $I$ 为 $C$ 在 $P$ 点处的切线, 求 $O$ 点到 $l$ 距离的最小值.
设抛物线 $C: x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$, 准线为 $I, A \in C$, 已知以 $F$ 为圆心, $F A$ 为半径的圆 $F$ 交 I 于 $B, D$ 两点;
(1) 若 $\angle B F D=90^{\circ}, \triangle A B D$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$, 求 $p$ 的值及圆 $F$ 的方程;
(2) 若 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{F}$ 三点在同一直线 $\mathrm{m}$ 上, 直线 $\mathrm{n}$ 与 $\mathrm{m}$ 平行, 且 $\mathrm{n}$ 与 $\mathrm{C}$ 只有一个 公共点, 求坐标原点到 $m, n$ 距离的比值.
已知圆 $M:(x+1)^{2}+y^{2}=1$, 圆 $N:(x-1)^{2}+y^{2}=9$, 动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并与圆 $N$ 内切, 圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$.
(I ) 求 C 的方程;
(II) $\mathrm{I}$ 是与圆 $\mathrm{P}$, 圆 $\mathrm{M}$ 都相切的一条直线, $\mathrm{I}$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点, 当圆 $P$ 的半径最长时, 求 $|A B|$.
在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C: y=\frac{x^{2}}{4}$ 与直线 $\mathrm{I}: y=k x+a(a>0 ）$ 交 于 $M, N$ 两点.
( I ) 当 $k=0$ 时, 分別求 $C$ 在点 $M$ 和 $N$ 处的切线方程.
(III) $y$ 轴上是否存在点 $\mathrm{P}$, 使得当 $\mathrm{k}$ 变动时, 总有 $\angle O P M=\angle O P N$ ? （说明理由 )
设圆 $x^{2}+y^{2}+2 x-15=0$ 的圆心为 $A$, 直线 | 过点 $B(1,0)$ 且与 $x$ 轴 不重合, I交圆 $A$ 于 $C, D$ 两点, 过 $B$ 作 $A C$ 的平行线交 $A D$ 于点 $E$.
(I) 证明 $|E A|+|E B|$ 为定值, 并写出点 $E$ 的轨迹方程;
(II) 设点 $E$ 的轨迹为曲线 $C_{1}$, 直线 I 交 $C_{1}$ 于 $M, N$ 两点, 过 $B$ 且与 I 垂直的直 线与圆 $A$ 交于 $P, Q$ 两点, 求四边形 MPNQ 面积的取值范围.
已知椭圆 $c: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$, 四点 $P_{1}(1,1), P_{2}(0,1$ ), $P_{3}\left(-1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), P_{4}\left(1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 中恰有三点在椭圆 $C$ 上.
(1) 求 C 的方程;
(2) 设直线 $\mid$ 不经过 $P_{2}$ 点且与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点. 若直线 $P_{2} A$ 与直线 $P_{2} B$ 的斜 率的和为 $-1$, 证明: 1过定点.
在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array},(\theta\right.$ 为参 数）, 直线 $\mathrm{I}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{a}+4 \mathrm{t}, \\ \mathrm{y}=1-\mathrm{t}\end{array}\right.$ ( $\mathrm{t}$ 为参数）.
(1) 若 $a=-1$, 求 $C$ 与 $I$ 的交点坐标;
(2) 若 C上的点到 I 距离的最大值为 $\sqrt{17}$, 求 $a$.
已知 $A 、 B$ 分别为椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>1)$ 的左、右顶点, $G$ 为 $E$ 的上顶点, $\overrightarrow{A G} \cdot \overline{G B}=8$
, $P$ 为直线 $x=6$ 上的动点, $P A$ 与 $E$ 的另一交点为 $C, P B$ 与 $E$ 的另一交点为 $D$.
(1) 求 $E$ 的方程;
(2) 证明: 直线 $C D$ 过定点.
设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$ ， 点 $D(p, 0)$, 过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点, 当直线 $M D \perp x$ 轴时, $|M F|=3$.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 设直线 $M D 、 N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$, 记直线 $M N 、 A B$ 的倾斜角分 别为 $\alpha, \beta$, 当 $\alpha-\beta$ 取得最大值时, 求直线 $A B$ 的方程.
已知点 $A(2,1)$ 在双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}-1}=1(a>1)$ 上, 直线 $l$ 交 $C$ 于 $P, Q$ 两点, 直线 $A P, A Q$ 的斜率之和为 0 .
(1) 求 $l$ 的斜率;
(2) 若 $\tan \angle P A Q=2 \sqrt{2}$, 求 $\triangle P A Q$ 的面积.
如图, 椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F_{1}$, 右焦点为 $F_{2}$, 离心率 $\mathrm{e}=\frac{1}{2}$, 过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A 、 B$ 两点, 且 $\triangle A B F_{2}$ 的周长为 8 .
(1) 求椭圆 $E$ 的方程;
(2) 设动直线 $l: y=k x+m$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点 $P$, 且与直线 $x=4$ 相交于点 $Q$, 试探究: 在 $x$ 轴上是否存在定点 $M$, 使得以 $P Q$ 为直径的圆恒过点 $M$ ? 若存在, 求 出点 $M$ 的坐标; 若不存在, 说明理由.
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个顶点为 $A(0,-3)$, 右焦点为 $F$, 且 $|O A|=|O F|$, 其中 $O$ 为原 点.
(I) 求粗圆的方程;
(II) 已知点 $C$ 满足 $3 \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O F}$, 点 $B$ 在椭圆上 ( $B$ 异于椭圆的顶点), 直线 $A B$ 与以 $C$ 为圆心的圆相切 于点 $P$, 且 $P$ 为线段 $A B$ 的中点. 求直线 $A B$ 的方程.
在平面直角坐标系$xOy$中，已知圆$C$的半径为1，圆心既在直线$y=2x-4$上，也在直线$y=x-1$上
（1）求圆$C$的方程
（2）过点$A(2,4)$做圆$C$的切线，求切线方程