已知圆 $C:(x-1)^{2}+y^{2}=16$, 点 $F(-1,0), P$ 是圆 $C$ 上一动点, 若线段 $P F$ 的垂直平分线和 $C P$ 相交于点 $M$.
(1) 求点 $M$ 的轨迹方程 $E$.
(2) $A, B$ 是 $M$ 的轨迹方程与 $x$ 轴的交点 (点 $A$ 在点 $B$ 左边), 直线 $G H$ 过点 $T(4,0)$ 与轨迹 $E$ 交 于 $G, H$ 两点, 直线 $A G$ 与 $x=1$ 交于点 $N$, 求证: 动直线 $N H$ 过定点.