如图, 椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F_{1}$, 右焦点为 $F_{2}$, 离心率 $\mathrm{e}=\frac{1}{2}$, 过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A 、 B$ 两点, 且 $\triangle A B F_{2}$ 的周长为 8 .
(1) 求椭圆 $E$ 的方程;
(2) 设动直线 $l: y=k x+m$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点 $P$, 且与直线 $x=4$ 相交于点 $Q$, 试探究: 在 $x$ 轴上是否存在定点 $M$, 使得以 $P Q$ 为直径的圆恒过点 $M$ ? 若存在, 求 出点 $M$ 的坐标; 若不存在, 说明理由.