【ID】1105 【题型】解答题 【类型】高考真题 【来源】 2022年普通高等学校招生全国统一考试(新高考I卷)
已知点 $A(2,1)$ 在双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}-1}=1(a > 1)$ 上, 直线 $l$ 交 $C$ 于 $P, Q$ 两点, 直线 $A P, A Q$ 的斜率之和为 0 .
(1) 求 $l$ 的斜率;
(2) 若 $\tan \angle P A Q=2 \sqrt{2}$, 求 $\triangle P A Q$ 的面积.
答案:
(1) 将点 $A$ 代入双曲线方程得 $\frac{4}{a^{2}}-\frac{1}{a^{2}-1}=1$, 化简得 $a^4-4 a^{2}+4=0$ 得: $a^{2}=2$, 故双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$ 。


由题显然直线 $l$ 的斜率存在,设 $l: y=kx+m$,设 $P(x_{1}, y_{1}) , Q(x_2,y_2)$ 则联直线与 双曲线得: $\left(2 k^{2}-1\right) x^{2}+4 k m x+2 m^{2}+2=0$,
故 $x_{1}+x_{2}=-\frac{4 k m}{2 k^{2}-1}, \quad x_{1} x_{2}=\frac{2 m^{2}+2}{2 k^{2}-1}$,
$$
k_{A P}+k_{A Q}=\frac{y_{1}-1}{x_{1}-2}+\frac{y_{2}-1}{x_{2}-2}=\frac{k x_{1}+m-1}{x_{1}-2}+\frac{k x_{2}+m-1}{x_{2}-2}=0,
$$
化简得: $2 k x_{1} x_{2}+(m-1-2 k)\left(x_{1}+x_{2}\right)-4(m-1)=0$,

故 $\frac{2 k\left(2 m^{2}+2\right)}{2 k^{2}-1}+(m-1-2 k)\left(-\frac{4 k m}{2 k^{2}-1}\right)-4(m-1)=0$, 即 $(k+1)(m+2 k-1)=0$, 而直线 $l$ 不过 $A$ 点, 故 $k=-1$.


(2) 设直线 $A P$ 的倾斜角为 $\alpha$, 由 $\tan \angle P A Q=2 \sqrt{2}$, 得 $\tan \frac{\angle P A Q}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 由 $2 \alpha+\angle P A Q=\pi$, 得 $k_{A P}=\tan \alpha=\sqrt{2}$ , 即 $\frac{y_{1}-1}{x_{1}-2}=\sqrt{2}$,

联立 $\frac{y_{1}-1}{x_{1}-2}=\sqrt{2}$, 及 $\frac{x_{1}^{2}}{2}-y_{1}^{2}=1$ 得 $x_{1}=\frac{10-4 \sqrt{2}}{3}, y_{1}=\frac{4 \sqrt{2}-5}{3}$, 代入直线 $l$ 得 $m=\frac{5}{3}$, 故 $x_{1}+x_{2}=\frac{20}{3}, x_{1} x_{2}=\frac{68}{9}$

而 $|A P|=\sqrt{3}\left|x_{1}-2\right|,|A Q|=\sqrt{3}\left|x_{2}-2\right|$,
由 $\tan \angle P A Q=2 \sqrt{2}$, 得 $\sin \angle P A Q=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$,


故 $ S_{\triangle P P Q}=\frac{1}{2}|A P||A Q| \sin \angle P A Q=\sqrt{2}\left|x_{1} x_{2}-2\left(x_{1}+x_{2}\right)+4\right|=\frac{16 \sqrt{2}}{9} $

附函数图像

解析:

视频讲解

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