题号:1035    题型:填空题    来源:2022 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国甲卷)
设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p > 0)$ 的焦点为 $F$ , 点 $D(p, 0)$, 过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点, 当直线 $M D \perp x$ 轴时, $|M F|=3$.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 设直线 $M D 、 N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$, 记直线 $M N 、 A B$ 的倾斜角分 别为 $\alpha, \beta$, 当 $\alpha-\beta$ 取得最大值时, 求直线 $A B$ 的方程.
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答案:
(1)由题可知, 当 $x=p$ 时, $y^{2}=2 p^{2}$, 则 $y_{M}=\sqrt{2} p$
则吕知 $|M D|=\sqrt{2} p,|F D|=\frac{p}{2}$
则在 Rt $\triangle M F D$ 中, $|F D|^{2}+|D M|^{2}=|F M|^{2}$
得 $\left(\frac{p}{2}\right)^{2}+(\sqrt{2} p)^{2}=9$, 解得 $p=2$
则 $C$ 的方程 $C: y^{2}=4 x$


(2)要使 $\alpha-\beta$ 最大, 则 $\tan (\alpha-\beta)$ 最大, 且易知当直线 $M N$ 的斜率为负时, $\alpha-\beta$ 为正才能达到最大。

又 $$
\tan (\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}
$$
设 $M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right), A\left(x_{3}, y_{3}\right), B\left(x_{4}, y_{4}\right)$, 由 (1) 可知 $F(1,0), D(2,0)$
则 $\tan \beta=k_{M N}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y_{1}-y_{2}}{\frac{y_{1}^{2}}{4}-\frac{y_{2}^{2}}{4}}=\frac{4}{y_{1}+y_{2}}$
又 $N, D, B$ 三点共线, 则 $k_{N D}=k_{B D}$, 则 $\frac{y_{2}-0}{x_{2}-2}=\frac{y_{4}-0}{x_{4}-2}$, 则 $\frac{y_{2}-0}{\frac{y_{2}^{2}}{4}-2}=\frac{y_{4}-0}{\frac{y_{2}^{2}}{4}-2}$
得 $y_{2} y_{4}=-8$, 即 $y_{4}=\frac{-8}{y_{2}}$
同理由 $M, D, A$ 二点共线可得 $y_{3}=\frac{-8}{y_{1}}$
则 $\tan \alpha=\frac{4}{y_{3}+y_{4}}=\frac{y_{1} y_{2}}{-2\left(y_{1}+y_{2}\right)}$
由题可知, 直线 $M N$ 斜率不为 0 ,

不妨设 $l_{M N}: x=m y+l(m < 0)$
由 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=4 x \\ x=m y+1\end{array} \Rightarrow y^{2}-4 m y-4=0 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}y_{1}+y_{2}=4 m \\ y_{1} y_{2}=-4\end{array}\right.\right.$
则 $\tan \beta=\frac{4}{4 m}=\frac{1}{m}, \tan \alpha=\frac{-4}{-2 \times 4 m}=\frac{1}{2 m}$
则 $\tan (\alpha-\beta)=\frac{\frac{1}{2 m}-\frac{1}{m}}{1+\frac{1}{2 m} \cdot \frac{1}{m}}=\frac{-1}{2 m+\frac{1}{m}}$
则可知当 $m=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时, $\tan (\alpha-\beta)$ 最大, 即 $\alpha-\beta$ 最大, 此时
$A B$ 的直线方程为 $y-y_{3}=\frac{4}{y_{3}+y_{4}}\left(x-x_{3}\right)$, 即 $4 x-\left(y_{3}+y_{4}\right) y+y_{3} y_{4}=0$

$$
\text { 又 } y_{3}+y_{4}=\frac{-8}{y_{1}}+\frac{-8}{y_{2}}=\frac{-8\left(y_{1}+y_{2}\right)}{y_{1} y_{2}}=8 m=-4 \sqrt{2}
$$
$$
y_{3} y_{4}=\frac{-8}{y_{1}} \cdot \frac{-8}{y_{2}}=-16
$$
则 $A B$ 的直线方程为 $4 x+4 \sqrt{2} y-16=0$, 即 $x+\sqrt{2} y-4=0$

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