题号:2184    题型:填空题    来源:2023届湖南师大附中高三第一次月考数学
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 圆 $C$ 的方程为 $x^2+y^2-8 x+15=0$, 若直线 $y=k x-2$ 上至少存在一点, 使得以该点为圆心, 1 为半径的圆与圆 $C$ 有公共点, 则 $k$ 的最大值是
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答案:
$\frac{4}{3}$

解析:

方法提供与解析: (王帅峰)圆 $C$ 的标准方程为 $(x-4)^2+y^2=1$, 圆心为 $(4,0)$
由题意可知, $(4,0)$ 到直线 $k x-y-2=0$ 的距离应不大于 2
即 $\frac{|4 k-3|}{\sqrt{k^2+1}} \leq 2$, 整理得 $3 k^2-4 k \leq 0$, 解得 $0 \leq k \leq \frac{4}{3}$, 故 $k$ 的最大值是 $\frac{4}{3}$

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