已知 $a, b \in R, i$ 是虚数单位. 若 $(1+i)(1-b i)=a$, 则 $\frac{a}{b}$ 的值为 （ ）
$\text{A.}$ $3$
$\text{B.}$ $2$
$\text{C.}$ $-2$
$\text{D.}$ $-3$
设 $(1+i) x=1+y i$, 其中 $x, y$ 是实数, 则 $|x+y i|= $
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ 2
已知 $z=1-2 i$, 则 $z(\bar{z}-i)$ 的模长为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ $\sqrt{10}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 10
复数 $z$ 满足 $|z-5|=|z-1|=|z+i|$, 则 $|z|= $
$\text{A.}$ $\sqrt{10}$
$\text{B.}$ $\sqrt{13}$
$\text{C.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $5$
复数 $z$ 满足 $1+z \mathrm{i}+z \mathrm{i}^2=|1-\sqrt{3} \mathrm{i}|$, 则 $z=$
$\text{A.}$ $1+\mathrm{i}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{i}$
已知 $\mathrm{i}$ 为虚数单位, $z=a+b \mathrm{i}(a, b \in \mathbf{R})$, 若 $(\bar{z}+1-a)[z+(1-b) \mathrm{i}]=-2 a \mathrm{i}$, 则复数 $z$ 在 复平面上对应的点位于
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
已知 $a, b \in \mathbf{R}, a+3 \mathrm{i}=(b+\mathrm{i}) \mathrm{i}(\mathrm{i}$ 为虚数单位), 则
$\text{A.}$ $a=1, b=-3$
$\text{B.}$ $a=-1, b=3$
$\text{C.}$ $a=-1, b=-3$
$\text{D.}$ $a=1, b=3$
设复数 $z=\frac{10}{3-\mathrm{i}}+2 \mathrm{i}$, 则 $|z|=$
$\text{A.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{C.}$ $3 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{10}$
已知复数 $\frac{x+y \mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=2-\mathrm{i}, x, y \in \mathrm{R}$, 则 $x-y=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
已知 $m, n$ 为实数, $1-\mathrm{i}$ ( $\mathrm{i}$ 为虚数単位) 是关于 $x$ 的方程 $x^2-m x+n=0$ 的一个根, 则 $m+n=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设复数 $z=i(2-3 i)$, 则 $|z|=$
$\text{A.}$ $\sqrt{13}$
$\text{B.}$ $\sqrt{5}$
$\text{C.}$ $3$
$\text{D.}$ $5$
已知复数 $z_1=1-2 i, z_2=1+i$, 则复数 $z_1 z_2$ 的模 $\left|z_1 z_2\right|$ 等于
$\text{A.}$ $\sqrt{5}$
$\text{B.}$ $\sqrt{10}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{5}$
$\text{D.}$ $5 \sqrt{2}$
已知 $z=(1-2 \mathrm{i})(3-\mathrm{i})$, 则 $z$ 对应的点在
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
已知 $z$ 是方程 $x^2-2 x+2=0$ 的一个根, 则 $|z|=$
$\text{A.}$ $1$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $2$
复数 $(1+i)^{22}=$
$\text{A.}$ $2048i$
$\text{B.}$ $2048$
$\text{C.}$ $-2048i$
$\text{D.}$ $-2048$
已知复数 $z$ 满足 $|z+2| \leqslant \sqrt{2}$, 则 $|z-2 \mathrm{i}|$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $4 \sqrt{2}$
欧拉公式 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta(\mathrm{e}=2.71828 \cdots)$ 是由 18 世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德・欧 拉发现的, 被誉为数学上优美的公式. 已知 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}$, 则 $\cos \theta=$
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
若 $\bar{z}=\frac{2 \mathrm{i}+\mathrm{i}^2}{1+\mathrm{i}}$, 则 $z=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}+\frac{3}{2} \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}-\frac{3}{2} \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}+\frac{3}{2} \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}-\frac{3}{2} \mathrm{i}$
已知集合 $A=\{-1, i\}, i$ 为虚数单位, 则下列选项正确的是
$\text{A.}$ $\frac{1}{i} \in A$
$\text{B.}$ $\frac{1-i}{1+i} \in A$
$\text{C.}$ $ i^5 \in A$
$\text{D.}$ $|-i| \in A$
设复数 $z=2+\mathrm{i}$ 的共轭复数为 $\bar{z}$, 则 $z-\bar{z}+z \bar{z}=$
$\text{A.}$ $3+2 i$
$\text{B.}$ $3-2 i$
$\text{C.}$ $5-2 i$
$\text{D.}$ $5+2 \mathrm{i}$
已知复数 $z=1-\mathrm{i}^{23}$, 且 $\bar{z}=a+b z^2$, 其中 $a, b$ 为实数, 则 $a-b=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{D.}$ $2$
设复数 $z=2+\mathrm{i}$ 的共轭复数为 $\bar{z}$, 则 $z-\bar{z}+z \bar{z}= $
$\text{A.}$ $3+2 i$
$\text{B.}$ $3-2 i$
$\text{C.}$ $5-2 i$
$\text{D.}$ $5+2 {i}$