复数13

数学

一、单选题（共 19 题），每题只有一个选项正确

1. 设复数

z

满足

| z - i | = 1

，

z

在复平面内对应的点为

(x ， y)

，则（　　）

A.

(x + 1)^{2} + y^{2} = 1

B.

(x - 1)^{2} + y^{2} = 1

C.

x^{2} + (y - 1)^{2} = 1

D.

x^{2} + (y + 1)^{2} = 1

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2. 设

2 (z + \overset{―}{z}) + 3 (z - \overset{―}{z}) = 4 + 6 i

,则

z =

（　　）

A.

1 - 2 i

B.

1 + 2 i

C.

1 + i

D.

1 - i

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3. 已知

a, b \in R, i

是虚数单位. 若

(1 + i) (1 - b i) = a

, 则

\frac{a}{b}

的值为（　　）

A.

3

B.

2

C.

- 2

D.

- 3

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4. 设

a \in R

, 且

(a + i)^{2} i

为正实数, 则

a =

（　　）

A.

B.

C.

D.

-1

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5. 已知

\frac{\bar{Z}}{1 + i} = 2 + i

, 则复数

z =

（　　）

A.

- 1 + 3 i

B.

1 - 3 i

C.

3 + i

D.

3^{-} i

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6. 复数

\frac{2 + i}{1 - 2 i}

的共轭复数是 ( )

A.

- \frac{3}{5} i

B.

\frac{3}{5} i

C.

- i

D.

i

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7. 若复数

z

满足 (3-

4 i) z = | 4 + 3 i |

, 则

z

的虚部为（）

A.

- 4

B.

- \frac{4}{5}

C.

D.

\frac{4}{5}

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\frac{(1 + i)^{3}}{(1 - i)^{2}} = ()

A.

1 + i

B.

1 - i

C.

- 1 + i

D.

- 1 - i

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9. 设

(1 + i) x = 1 + y i

, 其中

x, y

是实数, 则

| x + y i | =

A.

B.

\sqrt{2}

C.

\sqrt{3}

D.

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10. 设

z = \frac{1 - i}{1 + i} + 2 i

, 则

| z | =

A.

B.

\frac{1}{2}

C.

D.

\sqrt{2}

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11. 若

z = 1 + i

, 则

| i z + 3 \bar{z} | =

A.

4 \sqrt{5}

B.

4 \sqrt{2}

C.

2 \sqrt{5}

D.

2 \sqrt{2}

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12. 若

i (1 - z) = 1

, 则

z + \bar{z} =

A.

- 2

B.

- 1

C.

D.

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13. 设

m \in R

, 若复数

z_{1} = - 2 + i

的虚部与复数

z_{2} = m + m i

的虚部相等, 则

z_{1} \cdot z_{2} = (

)

A.

- 3 + i

B.

- 1 - i

C.

3 - i

D.

- 3 - i

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14. 若复数

z

满足

(1 + i) z = | 1 + i |

, 则

z

的虚部为（）

A.

- \frac{\sqrt{2}}{2} i

B.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

C.

\sqrt{2}

D.

- \sqrt{2}

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15. 若虚数

z

满足

2 i \bar{z} = z^{2}

, 则

| z | =

A.

\sqrt{2}

B.

C.

D.

0 或 2

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16. 已知

z = 1 - 2 i

, 则

z (\bar{z} - i)

的模长为

A.

B.

\sqrt{10}

C.

D.

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17. 已知

i

为虚数单位, 复数

z

满足

z (1 + i) = 4 - 3 i

, 则复数

z

在复平面内对应的点位于（）

A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限

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18. 已知复数

z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i

, 则

\bar{z} + \frac{1}{z^{2}} =

A.

- \sqrt{3} i

B.

- \sqrt{3}

C.

1 + \sqrt{3} i

D.

1 - \sqrt{3} i

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19. 已知复数

z

满足

(1 + i) z = 2 - i

, 其中

i

为虚数单位, 则在复平面内

\bar{z}

对应的点位于

A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限

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二、填空题（共 10 题），请把答案直接填写在答题纸上

20.

i

是虚数单位, 复数

\frac{8 - i}{2 + i} =

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21. 复数

z = \frac{1}{1 + i}

(为虚数单位), 则

| z | =

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22. 已知

i

是虚数单位, 如图, 在复平面内, 点

A

对应的复数为

z_{1}

, 若

\frac{z_{2}}{z_{1}} =

i

, 则

z_{2} =

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23. 设

z_{1} 、 z_{2} \in C

且

z_{1} = i \cdot \overset{―}{z_{2}}

, 满足

| z_{1} - 1 | = 1

, 则

| z_{1} - z_{2} |

的取值范围为

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24. 若复数

z = \frac{i}{2 - i}

(

i

是虚数单位) 的共轭复数是

\bar{z}

, 则

z - \bar{z}

的虚部是

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25. 已知复数

z = 1 + i

(其中

i

为虚数单位), 则

| 1 - i z | =

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26. 已知

i

是虚数单位, 化简

\frac{5 + 14 i}{2 + 3 i}

的结果为

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27. 若

z

为复数, 且

| z | = 1

, 则

| \frac{\sqrt{3} i - z}{\sqrt{2} - z} |

的最大值为

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28. 若

z = \frac{1 - a i}{2 + i}

(

i

为虚数单位) 为纯虚数, 则实数

a

的值为

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29. 已知

z \in C

, 且

3 < 48 z \cdot \bar{z} < 4, \frac{1}{z} = 3 + b i

, 则正整数

b

的值为

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