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若正数 $x, y$ 满足 $x^2+4 y^2+x+2 y=1$, 则 $x y$ 的最大值为

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答案：

利用均值不等式： $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ 当且仅当 $\mathrm{a}=\mathrm{b}$ 时等号成立进行解答。

解: $x+2 y \geq 2 \sqrt{2 x y},(x+2 y)^2+x+2 y=1+4 x y$
$\geq 8 x y+2 \sqrt{2 x y}$
解得 $0 < \sqrt{x y} < \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, 所以 $x y \leq \frac{2-\sqrt{3}}{4}$

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