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已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\right) \ln (x+1)$.
(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=2$ 处切线的斜率;
（2）当 $x>0$ 时, 证明: $f(x)>1$;
(3) 证明: $\frac{5}{6} < \ln (n !)-\left(n+\frac{1}{2}\right) \ln (n)+n \leq 1$.
                        
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