已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{a x}-\mathrm{e} \frac{\ln x}{x}-\mathrm{e} a(x>0)$.
(1) 当 $a=1$ 时, 求函数 $g(x)=\mathrm{e}^{a x-1}-\frac{f(x)}{\mathrm{e}}+x-a$ 的单调区间:
(2) 证明: 当 $a < -\mathrm{e}^{-2}$ 时, 不等式 $f(x)>0$ 恒成立.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$