已知函数 $f(x)=3 a-x-(x+1) \ln (x+1), g(x)=a^2 \mathrm{e}^x+\frac{1}{2}(2-a) x^2-3 a x(x>-1)$, $1 \leqslant a \leqslant 6, g(x)$ 的导函数记为 $g^{\prime}(x)$, $\mathrm{e}$ 为自然对数的底数, 约为 2.718 .
(1) 判断函数 $f(x)$ 的零点个数;
(2) 设 $x_1$ 是函数 $f(x)$ 的一个零点, $x_2$ 是函数 $g(x)$ 的一个极值点, 证明:
(1) $-1 < x_2 < 1 < x_1$;
(2) $f\left(x_2\right) < g^{\prime}\left(x_1\right)$.