不等式16

数学

一、解答题（共 26 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 已知函数

f (x) = \sin x - \ln (1 + x)

，

f^{'} (x)

为

f (x)

的导数．证明：

（1）

f^{'} (x)

在区间

(- 1, \frac{- π}{2})

存在唯一极大值点；

（2）

f (x)

有且仅有2个零点．

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2. 已知

a ， b ， c

为正数，且满足

a b c = 1

．证明：

（1）

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}

（2）

(a + b)^{3} + (b + c)^{3} + (c + a)^{3} \geq 24

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3. 已知函数

f (x) = | x - a | + | x + 3 |

.
(1) 当

a = 1

时, 求不等式

f (x) ⩾ 6

的解集;
（2）若

f (x) ⩾ - a

, 求

a

的取值范围.

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4. 已知函数

f (x) = e^{x} (x^{2} + m x + m^{2}), g (x) = a x^{2} + x + a x \ln x

.
(1) 若函数

f (x)

在

x = - 1

处取极小值, 求实数

m

的值;
(2) 设

m = 0

, 若对任意

x \in (0, + \infty)

, 不等式

f (x) \geq g (x)

恒成立, 求实数

a

的值.

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5. 已知函数

f (x) = | 2 x - 1 | - | x + 1 |

.
（1）求不等式

f (x) < 2

的解集;
（2）若关于

x

的不等式

f (x) \leq a - \frac{a^{2}}{2}

有解，求

a

的取值范围.

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6. 已知函数

f (x) = - x^{2} + a x + 1 - \ln x

.
(I) 当

a = 3

时，求函数

f (x)

的单调递增区间;
(II ) 若

f (x)

在区间

(0, \frac{1}{2})

上是减函数, 求实数

a

的取值范围.

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7. 设函数

f (x) = e^{x} - 1 - x^{-} a x^{2}

.
（1）若

a = 0

, 求

f (x)

的单调区间;
（2）若当

x ⩾ 0

时

f (x) ⩾ 0

, 求

a

的取值范围.

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8. 设函数

f (x) = | 2 x - 4 | + 1

.
(I) 画出函数

y = f (x)

的图象:
(II) 若不等式

f (x) ⩽ a x

的解集非空, 求

a

的取值范围.

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9. 已知函数

f (x) = \frac{aln x}{x + 1} + \frac{b}{x}

, 曲线

y = f (x)

在点（1,

f (1 ）

）处的切线方程为

x + 2 y - 3 = 0

.
（I）求

a 、 b

的值;
（II ）如果当

x > 0

, 且

x \neq 1

时,

f (x) > \frac{\ln x}{x - 1} + \frac{k}{x}

, 求

k

的取值范围.

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10. 设函数

f (x) = | x - a | + 3 x

, 其中

a > 0

.
(I) 当

a = 1

时, 求不等式

f (x) ⩾ 3 x + 2

的解集
(II ) 若不等式

f (x) ⩽ 0

的解集为

{x ∣ x ⩽ - 1}

, 求

a

的值.

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11. 已知函数

f (x)

满足

f (x) = f^{'}

(1)

e^{x - 1} - f (0) x + \frac{1}{2} x^{2}

;
（1）求

f (x)

的解析式及单调区间;
(2) 若

f (x) ⩾ \frac{1}{2} x^{2} + a x + b

, 求

(a + 1) b

的最大值.

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12. 已知函数

f (x) = | x + a | + | x - 2 |

(1)当

a = - 3

时, 求不等式

f (x) ⩾ 3

的解集;
(2)

f (x) ⩽ | x - 4 |

若的解集包含

[1, 2]

, 求

a

的取值范围.

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13. 已知函数

f (x) = x^{2} + a x + b, g (x) = e^{x} (c x + d)

, 若曲线

y = f (x)

和曲线

y = g (x)

都过点

P (0, 2)

, 且在点

P

处有相同的切线

y = 4 x + 2

.
(I) 求

a, b, c, d

的值;
(II) 若

x ⩾ - 2

时,

f (x) ⩽ k g (x)

, 求

k

的取值范围.

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14. 已知函数

f (x) = | 2 x - 1 | + | 2 x + a |, g (x) = x + 3

.
（I）当

a = - 2

时, 求不等式

f (x) < g (x)

的解集;
（II ）设

a > - 1

, 且当

x \in [- \frac{a}{2}, \frac{1}{2}]

时,

f (x) ⩽ g (x)

, 求

a

的取值范围.

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15. 已知函数

f (x) = | x + 1 | - 2 | x - a |, a > 0

.
(I) 当

a = 1

时, 求不等式

f (x) > 1

的解集;
(II) 若

f (x)

的图象与

x

轴围成的三角形面积大于 6, 求

a

的取值范围.

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16. 已知函数

f (x) = (x - 2) e^{x} + a (x - 1)^{2}

有两个零点.
( I ) 求

a

的取值范围;
(II) 设

x_{1}, x_{2}

是

f (x)

的两个零点, 证明:

x_{1} + x_{2} < 2

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17. 已知函数

f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x

.
（1）讨论

f (x)

的单调性;
（2）若

f (x)

有两个零点, 求

a

的取值范围.

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18. 23. 已知函数

f (x) = - x^{2} + a x + 4, g (x) = | x + 1 | + | x - 1 |

.
（1）当

a = 1

时, 求不等式

f (x) ⩾ g (x)

的解集;
(2) 若不等式

f (x) ⩾ g (x)

的解集包含

[- 1, 1]

, 求

a

的取值范围.

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19. 已知函数

f (x) = \frac{1}{x} - x + aln x

.
（1）讨论

f (x)

的单调性;
(2) 若

f (x)

存在两个极值点

x_{1}, x_{2}

, 证明:

\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < a - 2

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20. 已知

f (x) = | x + 1 | - | a x - 1 |

.
（1）当

a = 1

时, 求不等式

f (x) > 1

的解集;
(2) 若

x \in (0, 1)

时不等式

f (x) > x

成立, 求

a

的取值范围.

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21. 已知函数

f (x) = e^{x} + a x^{2} - x

.
(1) 当

a = 1

时, 讨论

f (x)

的单调性;
(2) 当

x \geq 0

时,

f (x) \geq \frac{1}{2} x^{3} + 1

, 求

a

的取值范围.

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22. 已知函数

f (x) = \frac{e^{x}}{x} - \ln x + x - a

.
(1) 若

f (x) ⩾ 0

, 求

a

的取值范围;
(2) 证朋: 若

f (x)

有两个零点

x_{1}, x_{2}

, 则

x_{1} x_{2} < 1

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23. 已知正实数

a \cdot b \cdot c

满足

a^{2} + b^{2} + 4 c^{2} = 3

求证: (1)

a + b + 2 c \leq 3

.
(2)若

b = 2 c

. 则

\frac{1}{a} + \frac{1}{c} \geq 3

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24. 已知函数

f (x) = e^{x} - a x

和

g (x) = a x - \ln x

有相同的最小值.
(1) 求

a

;
(2) 证明: 存在直线

y = b

, 其与两条曲线

y = f (x)

和

y = g (x)

共在三个不同的交点, 并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

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25. 已知函数

f (x) = \ln x + \frac{a}{x} - 2 x

.
（1）讨论当

a > 0

时,

f (x)

单调性.
证明:

e^{x} + \frac{a - 2 x^{2} - 2 x}{x} > f (x)

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26. 已知

a ⩾ 0

, 函数

f (x) = a x + \frac{1 + a}{x} - \ln x

.
(1) 讨论函数

f (x)

的单调性;
（2）如果我们用

n - m

表示区间

(m, n)

的长度, 试证明: 对任意实数

a ⩾ 1

, 关于

x

的不等式

f (x) < 2 a + 1

的解集的区间长度小于

2 a + 1

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