已知函数$f(x)=\sin x-\ln (1+x)$，$f'(x)$为$f(x)$的导数．证明：
（1）$f'(x)$在区间$(-1,\dfrac{-\pi}{2})$存在唯一极大值点；
（2）$f(x)$有且仅有2个零点．
已知$a，b，c$为正数，且满足$abc=1$．证明：
（1）$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
（2）$(a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3} \geq 24$
已知函数 $f(x)=|x-a|+|x+3|$.
(1) 当 $\mathrm{a}=1$ 时, 求不等式 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \geqslant 6$ 的解集;
（2）若 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \geqslant-\mathrm{a}$, 求 $\mathrm{a}$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=e^{x}\left(x^{2}+m x+m^{2}\right), g(x)=a x^{2}+x+a x \ln x$.
(1) 若函数 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取极小值, 求实数 $m$ 的值;
(2) 设 $m=0$, 若对任意 $x \in(0,+\infty)$, 不等式 $f(x) \geq g(x)$ 恒成立, 求实数 $a$ 的值.
已知函数 $f(x)=|2 x-1|-|x+1|$.
（1）求不等式 $f(x) < 2$ 的解集;
（2）若关于 $x$ 的不等式 $f(x) \leq a-\frac{a^{2}}{2}$ 有解，求 $a$ 的取值范围.
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=-\mathrm{x}^{2}+a \mathrm{x}+1-\ln \mathrm{x}$.
(I) 当 $a=3$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调递增区间;
(II ) 若 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 上是减函数, 求实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围.
设函数 $f(x)=e^{x}-1-x^{-} a x^{2}$.
（1）若 $a=0$, 求 $f(x)$ 的单调区间;
（2）若当 $x \geqslant 0$ 时 $f(x) \geqslant 0$, 求 $a$ 的取值范围.
设函数 $f(x)=|2 x-4|+1$.
(I) 画出函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象:
(II) 若不等式 $f(x) \leqslant a x$ 的解集非空, 求 $a$ 的取值范围.
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{aln} \mathrm{x}}{\mathrm{x}+1}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}}$, 曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在点（1, $f(1 ）$ ）处的 切线方程为 $x+2 y-3=0$.
（I）求 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b}$ 的值;
（II ）如果当 $x>0$, 且 $x \neq 1$ 时, $f(x)>\frac{\ln x}{x-1}+\frac{k}{x}$, 求 $k$ 的取值范围.
设函数 $f(x)=|x-a|+3 x$, 其中 $a>0$.
(I) 当 $a=1$ 时, 求不等式 $f(x) \geqslant 3 x+2$ 的解集
(II ) 若不等式 $f(x) \leqslant 0$ 的解集为 $\{x \mid x \leqslant-1\}$, 求 $a$ 的值.
已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=f^{\prime}$ (1) $e^{x-1}-f(0) x+\frac{1}{2} x^{2}$;
（1）求 $f(x)$ 的解析式及单调区间;
(2) 若 $f(x) \geqslant \frac{1}{2} x^{2}+a x+b$, 求 $(a+1) b$ 的最大值.
已知函数 $f(x)=|x+a|+|x-2|$
(1)当 $a=-3$ 时, 求不等式 $f(x) \geqslant 3$ 的解集;
(2) $f(x) \leqslant|x-4|$ 若的解集包含 $[1,2]$, 求 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=x^{2}+a x+b, g(x)=e^{x}(c x+d)$, 若曲线 $y=f(x)$ 和 曲线 $y=g(x)$ 都过点 $P(0,2)$, 且在点 $P$ 处有相同的切线 $y=4 x+2$.
(I) 求 $a, b, c, d$ 的值;
(II) 若 $x \geqslant-2$ 时, $f(x) \leqslant k g(x)$, 求 $k$ 的取值范围.
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=|2 \mathrm{x}-1|+|2 \mathrm{x}+\mathrm{a}|, \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+3$.
（I）当 $a=-2$ 时, 求不等式 $f(x) < g(x)$ 的解集;
（II ） 设 $a>-1$, 且当 $x \in\left[-\frac{a}{2}, \frac{1}{2}\right]$ 时, $f(x) \leqslant g(x)$, 求 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=|x+1|-2|x-a|, a>0$.
(I) 当 $a=1$ 时, 求不等式 $f(x)>1$ 的解集;
(II) 若 $f(x)$ 的图象与 $x$ 轴围成的三角形面积大于 6, 求 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=(x-2) e^{x}+a(x-1) ^2$ 有两个零点.
( I ) 求 $a$ 的取值范围;
(II) 设 $x_{1}, x_{2}$ 是 $f(x)$ 的两个零点, 证明: $x_{1}+x_{2} < 2$.
已知函数 $f(x)=a e^{2 x}+(a-2) e^{x}-x$.
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性;
（2）若 $f(x)$ 有两个零点, 求 $a$ 的取值范围.
23. 已知函数 $f(x)=-x^{2}+a x+4, g(x)=|x+1|+|x-1|$.
（1）当 $a=1$ 时, 求不等式 $f(x) \geqslant g(x)$ 的解集;
(2) 若不等式 $f(x) \geqslant g(x)$ 的解集包含 $[-1,1]$, 求 $a$ 的取值范围.
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{\mathrm{x}}-\mathrm{x}+\mathrm{aln} \mathrm{x}$.
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$, 证明: $\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}} < a-2$.
已知 $f(x)=|x+1|-|a x-1|$.
（1）当 $a=1$ 时, 求不等式 $f(x)>1$ 的解集;
(2) 若 $x \in(0,1)$ 时不等式 $f(x)>x$ 成立, 求 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}+a x^{2}-x$.
(1) 当 $a=1$ 时, 讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 当 $x \geq 0$ 时, $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$, 求 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\frac{e^{x}}{x}-\ln x+x-a$.
(1) 若 $f(x) \geqslant 0$, 求 $a$ 的取值范围;
(2) 证朋: 若 $f(x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$, 则 $x_{1} x_{2} < 1$.
已知正实数 $a \cdot b \cdot c$ 满足 $a^{2}+b^{2}+4 c^{2}=3$
求证: (1) $a+b+2 c \leq 3$.
(2)若 $b=2 c$. 则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c} \geq 3$.
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x$ 和 $g(x)=a x-\ln x$ 有相同的最小值.
(1) 求 $a$;
(2) 证明: 存在直线 $y=b$, 其与两条曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 共在三个不同的交点, 并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
已知函数 $f(x)=\ln x+\frac{a}{x}-2 x$.
（1）讨论当 $a>0$ 时, $f(x)$ 单调性.
证明: $\mathrm{e}^{x}+\frac{a-2 x^{2}-2 x}{x}>f(x)$.
已知 $a \geqslant 0$, 函数 $f(x)=a x+\frac{1+a}{x}-\ln x$.
(1) 讨论函数 $f(x)$ 的单调性;
（2）如果我们用 $n-m$ 表示区间 $(m, n)$ 的长度, 试证明: 对任意实数 $a \geqslant 1$, 关于 $x$ 的不等式 $f(x) < 2 a+1$ 的解集的区间长度小于 $2 a+1$.