题号:872    题型:解答题    来源:2017 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
23. 已知函数 $f(x)=-x^{2}+a x+4, g(x)=|x+1|+|x-1|$.
(1)当 $a=1$ 时, 求不等式 $f(x) \geqslant g(x)$ 的解集;
(2) 若不等式 $f(x) \geqslant g(x)$ 的解集包含 $[-1,1]$, 求 $a$ 的取值范围.
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答案:
解: (1) 当 $a=1$ 时, $f(x)=-x^{2}+x+4$, 是开口向下, 对称轴为 $x=\frac{1}{2}$ 的
二次函数,
$g(x)=|x+1|+|x-1|=\left\{\begin{array}{l}2 x, \quad x > 1 \\ 2, \quad-1 \leqslant x \leqslant 1, \\ -2 x, \quad x < -1\end{array}\right.$
当 $x \in(1,+\infty)$ 时, 令 $-x^{2}+x+4=2 x$, 解得 $x=\frac{\sqrt{17}-1}{2}, g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单 调递增, $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减, $\therefore$ 此时 $f(x) \geqslant g(x)$ 的解集为 (
$\left.1, \frac{\sqrt{17}-1}{2}\right]$;
当 $x \in[-1,1]$ 时, $g(x)=2, f(x) \geqslant f(-1)=2$.
当 $x \in(-\infty,-1)$ 时, $g(x)$ 单调递减, $f(x)$ 单调递增, 且 $g(-1)=f(-1$
) $=2 .$
综上所述, $f(x) \geqslant g(x)$ 的解集为 $\left[-1, \frac{\sqrt{17}-1}{2}\right]$;
(2) 依题意得: $-x^{2}+a x+4 \geqslant 2$ 在 $[-1,1]$ 恒成立, 即 $x^{2}-a x-2 \leqslant 0$ 在 $[-1,1]$
恒成立, 则只需 $\left\{\begin{array}{l}1^{2}-a \cdot 1-2 \leqslant 0 \\ (-1)^{2}-a(-1)-2 \leqslant 0\end{array}\right.$, 解得- $1 \leqslant a \leqslant 1$,
故 $\mathrm{a}$ 的取值范围是 $[-1,1]$.
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