题号:1013    题型:填空题    来源:2020年普通高等学校招生全国统一考试
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}+a x^{2}-x$.
(1) 当 $a=1$ 时, 讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 当 $x \geq 0$ 时, $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$, 求 $a$ 的取值范围.
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答案:
【详解】(1)当 $a=1$ 时, $f(x)=e^{x}+x^{2}-x, f^{\prime}(x)=e^{x}+2 x-1$,
由于 $f^{\prime \prime}(x)=e^{x}+2 > 0$, 故 $f^{\prime}(x)$ 单调递增, 注意到 $f^{\prime}(0)=0$, 故:
当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $f^{\prime}(x) < 0, f(x)$ 单调递减,
当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x) > 0, f(x)$ 单调递增.
(2)由 $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ 得, $e^{x}+a x^{2}-x \ldots \frac{1}{2} x^{3}+1$, 其中 $x \geq 0$,
(1). 当 $x=0$ 时, 不等式为: $1 \geq 1$, 显然成立, 符合题意;
(2).当 $x > 0$ 时, 分离参数 $a$ 得,
$-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}$
记 $g(x)=-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}, g^{\prime}(x)=-\frac{(x-2)\left(e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1\right)}{x^{3}}$,
令 $h(x)=e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1(x \geq 0)$,
则 $h^{\prime}(x)=e^{x}-x-1, h^{\prime \prime}(x)=e^{x}-1 \geq 0$,
故 $h^{\prime}(x)$ 单调递增, $h^{\prime}(x) \geq h^{\prime}(0)=0$,
故函数 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$,
由 $h(x) \geq 0$ 可得: $e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1 \ldots 0$ 恒成立,
故当 $x \in(0,2)$ 时, $g^{\prime}(x) > 0, g(x)$ 单调递增;
当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $g^{\prime}(x) < 0, g(x)$ 单调递减;
因此, $[g(x)]_{\max }=g(2)=\frac{7-e^{2}}{4}$,
综上可得, 实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{7-e^{2}}{4},+\infty\right)$.
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