题号:970    题型:解答题    来源:2018 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
已知 $f(x)=|x+1|-|a x-1|$.
(1)当 $a=1$ 时, 求不等式 $f(x) > 1$ 的解集;
(2) 若 $x \in(0,1)$ 时不等式 $f(x) > x$ 成立, 求 $a$ 的取值范围.
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答案:
解: (1)当 $a=1$ 时, $f(x)=|x+1|-|x-1|= \begin{cases}2, & x > 1 \\ 2 x, & -1 \leqslant x \leqslant 1 \text {, } \\ -2, & x < -1\end{cases}$ 由 $f(x) > 1$,
$$
\therefore\left\{\begin{array} { l }
{ 2 x > 1 } \\
{ - 1 \leqslant x \leqslant 1 }
\end{array} \text { 或 } \left\{\begin{array}{l}
2 > 1 \\
x > 1
\end{array},\right.\right.
$$
解得 $x > \frac{1}{2}$,
故不等式 $f(x) > 1$ 的解集为 $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$,
(2)当 $x \in(0,1)$ 时不等式 $f(x) > x$ 成立,
$$
\therefore|x+1|-|a x-1|-x > 0,
$$
即 $x+1-|a x-1|-x > 0$,
即 $\left|a x^{-} 1\right| < 1$,
$$
\therefore-1 < \mathrm{ax}^{-} 1 < 1
$$
$$
\therefore 0 < \mathrm{ax} < 2 \text {, }
$$
$\because x \in(0,1)$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore a > 0, \\
&\therefore 0 < x < \frac{2}{a},
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&\therefore a < \frac{2}{x} \\
&\because \frac{2}{x} > 2, \\
&\therefore 0 < a \leqslant 2,
\end{aligned}
$$
故 $\mathrm{a}$ 的取值范围为 $(0,2]$.
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