题号:655    题型:解答题    来源:2013 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=|2 \mathrm{x}-1|+|2 \mathrm{x}+\mathrm{a}|, \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+3$.
(I)当 $a=-2$ 时, 求不等式 $f(x) < g(x)$ 的解集;
(II ) 设 $a > -1$, 且当 $x \in\left[-\frac{a}{2}, \frac{1}{2}\right]$ 时, $f(x) \leqslant g(x)$, 求 $a$ 的取值范围.
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答案:
解: $(\mathrm{I})$ 当 $\mathrm{a}=-2$ 时, 求不等式 $f(\mathrm{x}) < \mathrm{g}(\mathrm{x})$ 化为 $|2 x-1|+|2 x-2|-x-3 < 0 .$
设 $y=|2 x-1|+|2 x-2|-x-3$, 则 $y= \begin{cases}-5 x, & x < \frac{1}{2} \\ -x-2, & \frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1, \text { 它的图象如图所示: } \\ 3 x-6, & x > 1\end{cases}$ 结合图象可得, $\mathrm{y} < 0$ 的解集为 $(0,2)$, 故原不等式的解集为 $(0,2)$.
(II )设 $a > -1$, 且当 $x \in\left[-\frac{a}{2}, \frac{1}{2}\right]$ 时, $f(x)=1+a$, 不等式化为 $1+a \leqslant x+3$, 故 $x \geqslant a-2$ 对 $x \in\left[-\frac{a}{2}, \frac{1}{2}\right]$ 都成立.
故 $-\frac{a}{2} \geqslant a-2$,
解得 $a \leqslant \frac{4}{3}$,
故 $a$ 的取值范围为 $\left(-1, \frac{4}{3}\right]$.

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