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已知 $a \geqslant 0$, 函数 $f(x)=a x+\frac{1+a}{x}-\ln x$.
(1) 讨论函数 $f(x)$ 的单调性;
（2）如果我们用 $n-m$ 表示区间 $(m, n)$ 的长度, 试证明: 对任意实数 $a \geqslant 1$, 关于 $x$ 的不等式 $f(x) < 2 a+1$ 的解集的区间长度小于 $2 a+1$.
                        
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