若函数 $f(x)=\dfrac{e^x}{x^3}-a\left(\dfrac{3}{x}+\ln x\right)$ 只有一个极值点, 则 $a$ 的取值范围是
【答案】 $a \leq \frac{e^2}{4}$ 或 $a=\frac{e^3}{9}$

【解析】 $f^{\prime}(x)=\frac{x-3}{x^4} e^x-a \frac{x-3}{x^2}=\frac{(x-3)}{x^2}\left(\frac{e^x}{x^2}-a\right)$, 若 3 是极值点, 则 $a \leq \frac{e^x}{x^2}$, 因为 $\left(\frac{e^x}{x^2}\right)^{\prime}=\frac{x-2}{x^2} e^x$, 所以 $a \leq\left(\frac{e^x}{x^2}\right)_{\min }=\frac{e^2}{4}$; 若 3 不是极值点, 则 3 是 $\frac{e^x}{x^2}-a=0$ 的一个根, 此时 $a=\frac{e^3}{9}$.
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