2023年普通高等学校招生全国统一考试答案模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$, 且满足 $f(x)=f(-x)-2 x, x>0$ 时, $f^{\prime}(x)+1>0$. 若不等式 $f(x+\ln a)>f(x)-\ln a$ 在 $[-2,+\infty)$ 上恒成立, 则 $a$ 的取值范围是

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答案：

$\left(\mathrm{e}^4,+\infty\right.)$

解析：

第 1 步: 构造函数并判断单调性
令 $g(x)=f(x)+x$,
则 $g(-x)=f(-x)-x$
$$
=f(x)+x=g(x),
$$
故 $g(x)$ 为 $\mathbf{R}$ 上的偶函数,
当 $x>0$ 时, $g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)+1>0$.
所以 $g(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 单调递减,
在 $[0,+\infty)$ 单调递增.

第 2 步: 转化不等式
$f(x+\ln a)>f(x)-\ln a$ 等价于 $f(x+\ln a)+x+\ln a>$
$f(x)+x$

即 $g(x+\ln a)>g(x)$ 在 $x \in[-2,+\infty)$ 上恒成立. 所以 $|x+\ln a|>|x|$,
即 $2 x \ln a+\ln ^2 a>0$.
第 3 步: 求 $a$ 的取值范围
由一次函数性质可得 $\left\{\begin{array}{l}\ln a>0, \\ -4 \ln a+\ln ^2 a>0,\end{array}\right.$

解得 $\ln a>4$, 即 $a>\mathrm{e}^4$, 故 $a$ 的取值范围是 $\left(\mathrm{e}^4,+\infty\right.)$

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