已知 $a > 0$, 函数 $f(x)=\sqrt{2} a \cos x+\mathrm{e}^x$ 在 $(0,+\infty)$ 上存在两个极值点, 则 $a$ 的取值范围为
【答案】 $a \in\left(\mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}}, \mathrm{e}^{\frac{9 \pi}{4}}\right]$.

【解析】 原题$\Leftrightarrow f^{\prime}(x)=-\sqrt{2} a \sin x+\mathrm{e}^x=0$ 在 $(0,+\infty)$ 上有 2 个不同的实根 (变号) $\Leftrightarrow g(x)=\sin x \cdot \mathrm{e}^{-x}$ 的
图象与直线 $y=\frac{1}{\sqrt{2} a}$ 在 $(0,+\infty)$ 上有 2 个不同的交点 (变号), 则 $g^{\prime}(x)=(\cos x-\sin x) \mathrm{e}^{-x}$,
令 $g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow \cos x=\sin x$. 可画出 $g(x)=\sin x \cdot \mathrm{e}^{-x}$ 的草图如图:


要保证直线 $y=\frac{1}{\sqrt{2} a}(a > 0)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有 2 个不同的交点 (变号), 只需 $g\left(\frac{9 \pi}{4}\right) \leqslant \frac{1}{\sqrt{2} a} < g\left(\frac{\pi}{4}\right)$, 即 $a \in\left(\mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}}, \mathrm{e}^{\frac{9 \pi}{4}}\right]$, 综上, $a$ 的取值范围为 $a \in\left(\mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}}, \mathrm{e}^{\frac{9 \pi}{4}}\right]$.
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