题号:647    题型:填空题    来源:2013 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
若函数 $f(x)=\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+a x+b\right)$ 的图象关于直线 $x=-2$ 对称, 则 $f(x)$ 的最大值为
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答案:
16

解析:

解: $\because$ 函数 $f(x)=\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+a x+b\right)$ 的图象关于直线 $x=-2$ 对称,
$\therefore f(-1)=f(-3)=0$ 且 $f(1)=f(-5)=0$,
即 $\left[1-(-3)^{2}\right]\left[(-3)^{2}+a \cdot(-3)+b\right]=0$ 且 $\left[1-(-5)^{2}\right]\left[(-5)^{2}+a \cdot(-5\right.$
) $+b]=0$,
解之得 $\left\{\begin{array}{l}a=8 \\ b=15\end{array}\right.$,
因此, $f(x)=\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+8 x+15\right)=-x^{4}-8 x^{3}-14 x^{2}+8 x+15$,
求导数, 得 $f^{\prime}(x)=-4 x^{3}-24 x^{2}-28 x+8$,
令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x_{1}=-2-\sqrt{5}, x_{2}=-2, x_{3}=-2+\sqrt{5}$,
当 $x \in(-\infty,-2-\sqrt{5})$ 时, $f^{\prime}(x) > 0$; 当 $x \in(-2-\sqrt{5},-2)$ 时, $f^{\prime}(x) < $
0 ;
当 $x \in(-2,-2+\sqrt{5})$ 时, $f^{\prime}(x) > 0$; 当 $x \in(-2+\sqrt{5},+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x) < 0$
$\therefore f(x)$ 在区间 $(-\infty,-2-\sqrt{5}) 、(-2,-2+\sqrt{5})$ 上是增函数,在区间 $(-2-$
$\sqrt{5},-2) 、(-2+\sqrt{5},+\infty)$ 上是减函数.
又 $\because f(-2-\sqrt{5})=f(-2+\sqrt{5})=16$,
$\therefore f(x)$ 的最大值为 16 .
故答案为: 16 .
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