题号:
5972
题型:
填空题
来源:
武汉市2023届高中毕业生四月调研考试数学试卷及参考答案
在同一平面直角坐标系中, $P, Q$ 分别是函数 $f(x)=a x \mathrm{e}^x-\ln (a x)$ 和 $g(x)=\frac{2 \ln (x-1)}{x}$
图象上的动点, 若对任意 $a>0$, 有 $|P Q| \geqslant m$ 恒成立, 则实数 $m$ 的最大值为
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答案：
答案：
$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
解析：
$|P Q|^2=(m-n)^2+\left(\frac{2 \ln (m-1)}{m}-\left(a n \mathrm{e}^n-\ln (a n)\right)^2\right.$
$$
\geq \frac{\left(m-\frac{2 \ln (m-1)}{m}+a n \mathrm{e}^n-\ln a n-n\right)^2}{2} \geq \frac{(2+1)^2}{2}=\frac{9}{2} \text { ，则 } m_{\text {max }}=\frac{3 \sqrt{2}}{2} \text {. }
$$
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