已知函数 $f(x)=\ln (1+a x)-x-\frac{1}{a}, g(x)=x-\mathrm{e}^x$.
(1) 若不等式 $f(x) \leqslant \frac{1}{a}-2$ 恒成立, 求 $a$ 的取值范围;
(2) 若 $a=1$ 时, 存在 4 个不同实数 $x_1, x_2, x_3, x_4$, 满足 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=g\left(x_3\right)=g\left(x_4\right)$, 证明: $\left|x_2-x_1\right|=\left|x_4-x_3\right|$.
已知函数 $f(x)=x^2+b x-1$ 有两个零点 $x_1, x_2$, 且 $x_1, x_2$ 的倒数和为 $-1$.
(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式;
(2) 若在区间 $[-2,1]$ 上, 不等式 $f(-x)>2 x-m$ 恒成立, 求实数 $m$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\log _{\frac{1}{2}} \frac{2-a x}{x-2}(a \in \mathbf{R})$ 的图象关于原点对称.
(1) 当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $f(x)+\log _{\frac{1}{2}}(x-2) < m$ 恒成立, 求实数 $m$ 的取值范围;
(2) 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=\log _{\frac{1}{2}}(x+k)$ 在 $(2,5]$ 上有解, 求实数 $k$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} x^2, g(x)=\mathrm{eln} x$.
(1) 设函数 $F(x)=f(x)-g(x)$, 求 $F(x)$ 的单调区间;
(2) 若存在常数 $k, m$, 使得 $f(x) \geqslant k x+m$, 对 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立, 且 $g(x) \leqslant k x+m$, 对 $x \in(0,+\infty)$ 恒成立, 则称直线 $y=k x+m$ 为函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的 “分界线”, 试问: $f(x)$ 与 $g(x)$ 是否存在“分界线”? 若 存在,求出“分界线”的方程; 若不存在, 请说明理由.
已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^x-x+1(a \in \mathbf{R})$.
(1) 讨论函数 $f(x)$ 的零点的个数;
(2) 若 $f(x)$ 有两个不同的零点 $x_1 、 x_2$, 证明: $x_1+x_2>4$.
已知函数 $f(x)=\frac{a}{3} x^3-a x-x \ln x$.
(1) 若 $f(x)$ 的导函数为 $g(x)$, 讨论 $g(x)$ 的单调性;
(2) 若 $f(x)-\frac{a x^3}{3}+(x-a) \ln x+x \mathrm{e}^x \geqslant 0$ 恒成立, 求实数 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=e^{2 x}+(a-2) e^x-a x$.
(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性；
(2) 若 $f(x)$ 有两个零点, 求 $a$ 的取值范围.
已知 $f(x)=\log _4(4 x+1)+k x(k \in \mathbf{R})$ 为偶函数.
(1)求 $k$ 的值;
(2) 若方程 $f(x)=\log _4\left(a \cdot 2^x-a\right)$ 有且只有一个根, 求实数 $a$ 的取值范围.
若函数$f(x)=\dfrac{\left|1+\sqrt{x+1}-a e^x\right|}{e^x}$ 在在最大值和最小值，则实数$a$的取值范围
设 $f(x)=\frac{x}{\mathrm{e}^x}(x \in \mathbf{R})$.
(1) 求 $f(x)$ 的单调性, 并求 $f(x)$ 在 $x=\frac{1}{2}$ 处的切线方程;
(2) 若 $(\mathrm{e} x) \cdot f(x) \leq k \cdot(\ln x+1)$ 在 $x \in(1,+\infty)$ 上恒成立, 求 $k$ 的取值范围.
已知 $a>2$, 函数 $f(x)=x-a-(a-1) \ln \frac{x}{a}, x>0$.
(1) 求函数 $f(x)$ 的单调区间和极值;
(2) 设 $f(x)$ 较小的零点为 $x_1$, 证明: $a-2 < x_1 < a-2+\frac{1}{a}$.
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{a x}-x, g(x)=\sin x-\cos x-x+2$,
(1) 求函数 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 若关于 $x$ 的不等式 $f(x) \geq g(x)$ 在 $x \in[0,+\infty)$ 上恒成立, 求实数 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=e^x+a \cos x$, 其中 $x>0, a \in R$.
(1) 当 $a=-1$ 时, 讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 若函数 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0, \pi)$ 内有且仅有一个极值点, 求 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=x \ln x-\frac{k}{x}$, 其中 $k>0$.
(1) 证明: $f(x)$ 恒有唯一零点;
(2) 记 (1) 中的零点为 $x_0$, 当 $0 < k < \frac{\mathrm{e}}{2}$ 时, 证明: $f(x)$ 图象上存在关于点 $\left(x_0, 0\right)$ 对称的
两点.
已知函数 $f(x)=(x+a) \mathrm{e}^x, a \in \mathbf{R}$.
(1) 讨论 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 的单调性;
(2) 是否存在 $a, x_0, x_1$, 且 $x_0 \neq x_1$, 使得曲线 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 和 $x=x_1$ 处有相同的切线? 证明你的结 论.
已知函数 $f(x)=\ln x+\frac{1}{2} x^2-a x(a>0)$.
(1) 设 $y=g(x)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在 $x=n$ 处的切线, 若 $y=f(x)-g(x)$ 有且仅有一个零点, 求 $n$;
(2) 若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1 < x_2$, 且 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>m a^2-1$ 恒成立, 求正实数 $m$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x+\cos x-m x, x \in(0,+\infty)$.
(1) 若函数 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 上单调递减, 求实数 $m$ 的取值范围;
(2) 若 $\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}-1 < m < \mathrm{e}^\pi$, 求证: 函数 $f(x)$ 有两个零点. (参考数据: $\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}} \approx$ 4. $81, \mathrm{e}^\pi \approx 23.14$ )
已知函数 $f(x)=(x-1) \mathrm{e}^x-a \ln x$.
(1) 当 $a>0$ 时,证明: $f(x)$ 存在唯一的极小值点;
(2) 若 $f(x)$ 有两个零点, 求 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\ln x-m x(m \in R)$.
(1) 若曲线 $y=f(x)$ 过点 $P(1,-1)$, 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $P$ 处的切线方程;
(2) 求函数 $f(x)$ 在区间 $[1, e]$ 上的最大值;
(3) 若函数 $f(x)$ 有两个不同的零点 $x_1, x_2$, 求证: $x_1 \cdot x_2>e^2$
已知函数 $f(x)=\frac{x}{\mathrm{e}^{x+1}}+a \ln (x+1)$.
(1) 当 $a=2$ 时, 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程;
(2) 若函数 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 与 $(0,+\infty)$ 上各有一个零点, 求实数 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=a x-\ln x-\frac{a}{x}$.
(1) 若 $x>1, f(x)>0$, 求实数 $a$ 的取值范围;
(2) 设 $x_1, x_2$ 是函数 $f(x)$ 的两个极值点, 证明: $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| < \frac{\sqrt{1-4 a^2}}{a}$.
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-a x^2$.
(1) 若函数 $f(x)$ 在 $[1,3]$ 上有两个零点, 求实数 $a$ 的取值范围.
(2)探究: 是否存在正数 $a$, 使得 $F(x)=f(x)+a \sin x-(1+a) x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增, 若存在, 求出 $a$ 的 值; 若不存在, 请说明理由.
已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} x^2-a x$.
(1) 若 $\mathrm{g}(x)=f(x)-x+a \ln x$, 讨论 $\mathrm{g}(x)$ 的单调性;
(2) 已知 $h(x)=2 f(x)-x \ln x-4 a+2$, 若方程 $h(x)=0$ 在 $\left.\frac{1}{2},+\infty\right)$ 有且只有两个解, 求实数 $a$ 的取 值范围.
已知函数 $f(x)=x^2-a_{\ln }(1-x), a \in R$.
(1)讨论函数 $f(x)$ 的单调性;
(2) 若函数 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1, x_2$, 且 $x_1 < x_2$, 求证: $2 f\left(x_1\right)-a x_2>\left(2 \ln ^2-\frac{3}{2}\right) a$.
（1）已知函数 $f(x)=\frac{e^x}{x^2+1}$, 求 $f^{\prime}(1)$;
(2) 已知函数 $g(x)=x^3+a x$, 若曲线 $g(x)$ 在 $x=0$ 处的切线也与曲线 $h(x)=-\ln x$ 相切, 求 $a$ 的值.
(1) 证明: 当 $0 < x < 1$ 时, $x-x^2 < \sin x < x$;
(2) 已知函数 $f(x)=\cos a x-\ln \left(1-x^2\right)$, 若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点, 求 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=a\left(\mathrm{e}^x+a\right)-x$.
（1）讨论 $f(x)$ 的単调性;
（2）证明：当 $a>0$ 时， $f(x)>2 \ln a+\frac{3}{2}$.
已知 $f(x)=a x-\frac{\sin x}{\cos ^3 x} ， x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
(1) 若 $a=8$, 讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 若 $f(x) < \sin 2 x$ 恒成立, 求 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\frac{\sin x}{\mathrm{e}^x}$.
(1)讨论 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的单调性;
(2)若对于任意 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 若函数 $f(x) \leq k x$ 恒成立, 求实数 $k$ 的取值范围.