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已知函数 $f(x)=\frac{a}{3} x^3-a x-x \ln x$.
(1) 若 $f(x)$ 的导函数为 $g(x)$, 讨论 $g(x)$ 的单调性;
(2) 若 $f(x)-\frac{a x^3}{3}+(x-a) \ln x+x \mathrm{e}^x \geqslant 0$ 恒成立, 求实数 $a$ 的取值范围.
                        
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