已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} x^2, g(x)=\mathrm{eln} x$.
(1) 设函数 $F(x)=f(x)-g(x)$, 求 $F(x)$ 的单调区间;
(2) 若存在常数 $k, m$, 使得 $f(x) \geqslant k x+m$, 对 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立, 且 $g(x) \leqslant k x+m$, 对 $x \in(0,+\infty)$ 恒成立, 则称直线 $y=k x+m$ 为函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的 “分界线”, 试问: $f(x)$ 与 $g(x)$ 是否存在“分界线”? 若 存在,求出“分界线”的方程; 若不存在, 请说明理由.