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已知函数 $f(x)=\ln x-m x(m \in R)$.
(1) 若曲线 $y=f(x)$ 过点 $P(1,-1)$, 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $P$ 处的切线方程;
(2) 求函数 $f(x)$ 在区间 $[1, e]$ 上的最大值;
(3) 若函数 $f(x)$ 有两个不同的零点 $x_1, x_2$, 求证: $x_1 \cdot x_2>e^2$
                        
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